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Cours Math 2de

Nombres réels et intervalles
Repères et coordonnées
Géométrie 1
Pourcentages et statistiques
Ensembles de nombres et calculs
Fonctions, généralités
Probabilités
Fonctions affines et équations de droites
Vecteurs 1
Fonctions usuelles
Vecteurs 2
Géométrie 2

Site: Moodle mathémathoc
Course: Moodle mathémathoc
Book: Cours Math 2de
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Date: Friday, 18 October 2019, 6:05 AM

Nombres réels et intervalles

1) Droite réelle

Notation : \(\mathbb{R}\) désigne l’ensemble des nombres réels (c'est à dire : tous les nombres). Il peut être représenté par un axe.


Axe réel

 

 

 

2) Intervalles réels

Définitions : soient deux nombres a et b tels que a < b.

L’intervalle [a ; b] est l’ensemble des réels x vérifiant axb.
L’intervalle ]a ; b[ est l’ensemble des réels x vérifiant a < x < b.
L’intervalle [a ; + [ est l’ensemble des réels x vérifiant xa.

L’intervalle ]– ∞ ; a[ est l’ensemble des réels x vérifiant x < a.

etc.

 


Intervalles

 

Exemple : Résoudre l'inéquation 4x + 5 ≤ x + 1. Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

4x + 5 ≤ x + 1.
4xx ≤ 1 – 5.
3x ≤ – 4.
x\(-\frac{4}{3}\). S = ]– ∞ ; \(-\frac{4}{3}\)].

 

Remarque : axb est équivalent à : x ≥ a et xb.

 

 

 

3) Union d’intervalles

Définition : soient I et J deux intervalles. L’union (ou la réunion) de I et J est l’ensemble des réels x qui sont dans I ou dans J.

On note cet ensemble IJ.

 

Exemple : x ]– ∞ ; 2[[4 ; 6] signifie que x < 2 ou 4x ≤ 6.


Union d'intervalles

 

 

 

4) Valeur absolue et intervalles centrés

Définition : la valeur absolue d’un nombre x est notée |x|. Elle est définie par :

|x| = \(\left\{\begin{matrix} x\;\;\textrm{si}\;x\geq 0\\ -x\;\;\textrm{si}\;x<0 \end{matrix}\right.\)

 

Exemples : |2,5| = 2,5. \(\left | \frac{-8}{3} \right |=\frac{8}{3}\). |3 – π| = π – 3 car π > 3.

 

Remarques : - pour tout réel x : \(\sqrt{{x^{2}}}\) = |x| ;

- pour tous réels a et b : |ab| est la distance entre a et b.

Propriété : un intervalle ouvert ]a ; b[ (respectivement fermé [a ; b]) peut être vu comme l’ensembles des réels dont la distance au centre c = \(\frac{a+b}{2}\) est un strictement inférieure (respectivement inférieure ou égale) à la valeur r = \(\frac{b-a}{2}\) le rayon de l’intervalle, c’est sa demi-amplitude.

  

 

 

5) Calculs avec des nombres réels

Distributivité : k(a + b)=ka + kb.

 

Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

 

Identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b².

                                        (a – b)² = a² − 2ab + b².

                                        (a – b)(a + b) = a² – b².

Preuves : - 1ère identité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². CQFD

                - 2ème identité : (a – b)² = (a – b)(a – b) = a² − abba + b² = a² − abab + b² = a² − 2ab + b². CQFD

                - 3ème identité : (a – b)(a + b) = a² + abbab² = a² + ababb² = a² − b². CQFD

 

 

 

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Repères et coordonnées

1) Coordonnées d’un point

Définition : Trois points non alignés (O, I, J) définissent un repère du plan.

O est l'origine du repère.

(OI) est l'axe des abscisses, (OJ) l'axe des ordonnées.

On note M(xM ; yM) le point d’abscisse xM et d’ordonnée yM obtenus par projection sur les deux axes.


Lecture des coordonnées d'un point par projection sur les axes

 

 

 

2) Coordonnées du milieu d’un segment

Propriété : soient dans un repère deux points : A(xA ; yA) et B(xB ; yB).

Alors on a : I milieu de [AB] xI =\(\frac{x_A+x_B}{2}\) et yI = \(\frac{y_A+y_B}{2}\).


Les coordonnées du milieu d'un segment sont les moyennes de celles des extrémités

 

Exemple : soient dans un repère A(– 1 ; – 1) et B(3 ; 6). Calculer les coordonnées du milieu I de [AB] et du symétrique B’ de B par rapport à A.

I est le milieu de [AB] donc on a :
xI = \(\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1\).


yI = \(\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-1+6}{2}=\frac{5}{2}=2,5\).


On a donc I(1 ; 2,5).


A
est le mileu de [BB'] donc on a :

xA = \(\frac{x_B+x_{B'}}{2}\).

yA = \(\frac{y_B+y_{B'}}{2}\).

1 = \(\frac{3+x_{B'}}{2}\).

– 1 = \(\frac{6+y_{B'}}{2}\).

– 2 = 3 + xB'.

– 2 = 6 + yB'.

– 5 = xB'.

– 8 = yB'.

On a donc B'(– 5 ; – 8).

 

 

 

3) Calculs de longueurs dans un repère orthonormé

Les formules suivantes ne sont valables que si le repère est orthonormé.

Propriété : soient dans un repère orthonormé deux points : A(xA ; yA) et B(xB ; yB).

Alors on a : AB² = AC² + BC² = (xBxA)² + (yByA)² et donc : AB = \(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).

 

Preuve : dans le triangle ABC rectangle en C dessiné ci-dessous on peut appliquer le théorème de Pythagore.

AB² =AC² + BC² = |xBxA|² + |yByA|² =(xBxA)² + (yByA)².

En prenant la racine carrée : AB = \(\small\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).

La distance entre deux points peut se calculer grâce au théorème de Pythagore

 

Exemple : soient dans un repère orthonormé A(– 1 ; – 1), B(– 3 ; 3) et C(3 ; 6). Calculer AB, AC et BC. Quelle est la particularité du triangle ABC ?

AB = \(\small\sqrt{(-3-(-1))^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\).

AC = \(\small\sqrt{(3-(-1))^2+(6-(-1))^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\).

BC = \(\small\sqrt{(3-(-3))^2+(6-3)^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}\).

AC² = 65 = 20 + 45 = AB² + BC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

 

 

 

4) Equation réduite d’une droite

Définition : Une droite peut être caractérisée par son équation réduite de la forme :

x = c si c’est une droite verticale ;
y = ax + b si elle représente une fonction affine.
Un point M(x ; y) est sur la droite si ses coordonnées vérifient l’équation.


Droite d’équation x = c


Droite d’équation y = ax + b

 

Exemple : soit D la droite d’équation y = 2,5x – 3. Les points A(– 2 ; – 8) et B(10 ; 20) sont-ils sur D ?

2,5×xA – 3 = 2,5×(– 2) – 3 = – 5 – 3 = – 8 = yA donc A D.

2,5×xB – 3 = 2,5×10 – 3 = 25 – 3 = 22 ≠ yB donc B D.

 

Méthode : pour tracer une droite connaissant son équation réduite, il suffit de calculer les coordonnées de deux points en donnant deux valeurs à x.

Il suffit de deux points pour tracer une droite

 

Remarques : - les droites verticales (d’équation x = c) ou horizontales (d’équation y = b) se tracent sans calcul ;

                     - l'axe des abscisse (Ox) a pour équation y = 0. L'axe des ordonnées (Oy) a pour équation x = 0.

 

 

 

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Géométrie 1

1) Triangles

Définition : triangle isocèle.

ABC isocèle en A AB = AC.

 

Remarque : un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux. Ses angles mesurent tous les trois 60°. (La somme des angles d'un triangle fait 180°)

 

Théorème : Pythagore et sa réciproque.

ABC rectangle en A BC² = AB² + AC².

 

 

 

2) Parallélogrammes

Propriété : Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leurs milieux.

ABCD parallélogramme [AC] et [BD] ont mêmes milieux.

 

Cas particuliers :

- un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux, ses diagonales sont perpendiculaires ;

- un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit, ses diagonales sont de même longueur ;

- un carré est un losange rectangle.

 

 

 

3) Médiatrice d’un segment

Définition : la médiatrice d’un segment le coupe perpendiculairement en son milieu.

 

Propriété : c’est l’ensemble des points équidistants des extrémités.

M est sur la médiatrice de [AB] MA = MB.

 

 

 

4) Projeté orthogonal sur une droite

Définition : le projeté orthogonal d’un point M sur une droite D est le point H de D tel que (MH) et D soient perpendiculaires.

H projeté orthogonal de M sur D H D et (MH) D.

 

Remarques : - si M D il est son propre projeté ;

 - dans un repère orthonormé, les coordonnées se lisent par projection orthogonale sur les axes ;

 - H est le milieu de [MM’] où M’ est le symétrique de M par rapport à D ;

 - si A et B sont deux points de D, (MH) est une hauteur du triangle ABM.

 

 

 

5) Cercle

Définition : Un cercle est un ensemble de points équidistants de son centre.

M est sur le cercle de centre C et de rayon R CM = R.

 

Propriété : cercle circonscrit à un triangle rectangle

AMB triangle rectangle en M M est sur le cercle de diamètre [AB].

 

 

 

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Pourcentages et statistiques

1) Pourcentages instantanés

Définition : prendre t% d’une quantité revient à la multiplier par \(\frac{t}{100}\).

 

Exemple : dans un lycée de 1700 élèves, 58% sont des filles. Il y a donc : 1700×\(\frac{58}{100}\) = 986 filles.

 

Définition : la proportion d’une quantité q par rapport à une quantité Q est égale au quotient \(\frac{q}{Q}\). que l’on peut exprimer sous forme de pourcentage en multipliant par 100.

 

Exemple : dans une entreprise contenant 257 employés, 53 sont des cadres. Il y a donc une proportion de cadres égale à \(\frac{53}{257}\) ≈ 0,206. Soit 20,6%.

 

 

 

2) Pourcentages d’évolution

Définition : pour t [– 100 ; + ∞[, une évolution de t% d’une quantité est Q est égale à Q + Q×\(\frac{t}{100}\).

 

Remarque : si t est négatif cela correspond à une baisse.

 

Propriété : une évolution de t% correspond à une multiplication par 1 + \(\frac{t}{100}\).

C = 1 + \(\frac{t}{100}\). est appelé coefficient multiplicateur.

Preuve : Q augmenté de t% vaut : Q + Q×\(\frac{t}{100}\) = Q×1 + Q×\(\frac{t}{100}\) = Q×\(\left ( 1+ \frac{t}{100} \right )\).

 

Remarque : si le coefficient multiplicateur C est plus petit que 1, on a une baisse (t négatif). Si le coefficient multiplicateur est plus grand que 1, on a une hausse (t positif).

 

Exemples : - une baisse de 13% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 0,87.
                   - une hausse de 350% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 4,5.
                   - un coefficient multiplicateur égal à 1,53 correspond à une hausse de 53%.

 

Définition : le taux d’évolution (ou variation relative) entre une valeur initiale et une valeur finale peut se calculer avec la formule : \(\frac{V_f - V_i}{V_i}\) . On peut l’exprimer en pourcentage en multipliant par 100.

 

Remarque : la quantité VfVi est appelée variation absolue alors que \(\frac{V_f - V_i}{V_i}\) est la variation relative.

 

Exemple : le prix d’une action en bourse est passé de 12€ à 14,7€.

Son taux d’évolution est : \(\frac{14,7- 12}{12}\) = 0,225. Soit une augmentation de 22,5%.

  

  

 

3) Évolutions successives, évolution réciproque

Propriété : calculer le résultat d’évolutions successives revient à multiplier les coefficients multiplicateurs.

 

Exemple : un prix subit une baisse de 5% puis de 10%. Calculer son taux d’évolution global.

Le prix à été multiplié par 0,95×0,90 = 0,855.
Le taux d’évolution global vérifie donc : .
Donc t = – 0,145. Ce qui correspond à une baisse de 14,5%.

 

Remarque : les pourcentages d’évolution ne s’additionnent pas.

  

Propriété : calculer le résultat d’une évolution réciproque revient à diviser par le coefficient multiplicateur.

  

Exemple : la population d’un pays augmente de 4% chaque année et on suppose ce taux constant. En 2018 le pays contient 13566000 habitants. Calculer le nombre d’habitants en 2019 et en 2017.

En 2019 : 13566000×1,04 = 14108640 habitants.
En 2017 : \(\frac{13566000}{1,04}\) = 13044231 habitants.

 

Remarque : une hausse de t% n’est pas compensée par une baisse du même taux.

  

  

 

4) Vocabulaire statistique

Population : ensemble étudié.
Individu : élément de la population.
Caractère : ce qui est étudié.
Valeurs prises par le caractère : x1, x2, …, xp.
Effectif d’une valeur : nombre d’individus correspondants ; n1, n2, …, np.
Effectif total : N = n1 + n2 +… + np.
Fréquence d’une valeur : fi = \(\frac{n_i}{N}\). Il s’agit d’un nombre entre 0 et 1, on peut l’exprimer en pourcentage.
Caractère quantitatif si c’est un nombre, qualitatif sinon.
Caractère discret s’il prend des valeurs isolées.
Caractère continu s’il peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle, les résultats sont alors regroupés en classes.

  

  

 

5) Moyenne et écart type

Définition : la moyenne pondérée des valeurs xi pondérée par les effectifs ni est égale à \(\overline{x}=\frac{n_1 \times x_1+n_2 \times x_2+...+n_p \times x_p}{n_1+n_2+...+n_p}\).

 

Remarque : il faut prendre comme valeurs les centres des classes si la série est continue et regroupée en classes.

 

Exemple : on étudie la taille en cm d’un groupe de personnes.

Taille en cm

[150 ; 160[

[160 ; 170[

[170 ; 180[

[180 ; 200[

Effectifs

8

14

18

10

\(\bar{x}= \frac{8\times 155+14 \times 165+18 \times 175+10\times 190}{8+14+18+10} = \frac{8600}{50}\) = 172 cm.

 

Remarque : la moyenne est un paramètre de position, elle permet de positionner des séries statistiques les unes par rapport aux autres.

 

Propriété : linéarité de la moyenne.

- si on ajoute le même nombre à toutes les valeurs d'une série, la nouvelle moyenne s’obtient en ajoutant ce nombre à l'ancienne moyenne ;
- si on multiplie par le même nombre à toutes les valeurs d'une série, la nouvelle moyenne s’obtient en multipliant ce nombre et l'ancienne moyenne.

 

Définitions : - la variance d’une série statistique est égale à : V = \(\frac{n_1\times{(\overline{x}-x_1)^2}+n_2\times{(\overline{x}-x_2)^2+ ... +n_p\times{(\overline{x}-x_p)^2}}}{n_1 + n_2 + ... + n_p }\) ;
                     - l’écart type est la racine carrée de la variance : σ = \(\small\sqrt{V}\).

 

Propriétés : - l’écart type est la moyenne « quadratique » des écarts à la moyenne pondérée par les coefficients ni ;
                   - la variance et l’écart type sont des paramètres de dispersion : plus ils sont petits et plus la série statistique est homogène.

 

Remarque : les calculs de variances et d'écart type seront effectués par la calculatrice en mode STAT.

 

 

 

6) Médiane et quartiles

Il faut tout d’abord ranger les individus par ordre croissant des valeurs du caractère.

Calcul de la médiane :

Si N est pair : N = 2k et Me = \(\frac{valeur\;de\;rang\;k\;+\;valeur\;de\;rang\;(k+1)}{2}\) (c'est la moyenne des deux valeurs centrales).
Si N est impair : N = 2k + 1 et Me = valeur de rang k (c'est la valeur centrale).

 

Calcul des quartiles

On calcule \(\frac{N}{4}\) en arrondissant à l’entier supérieur : on obtient le rang du premier quartile Q1.
On calcule \(\frac{3N}{4}\) en arrondissant à l’entier supérieur : on obtient le rang du troisième quartile Q3.

 

Remarque : pour trouver la valeur d'in individu connaissant son rang, on peut utiliser le tableau des effectifs cumulés croissants (ou des fréquences cumulées).

 

Exemple : avec 90 individus.

Valeurs

125

126

128

130

131

132

134

135

Effectifs

5

10

15

10

7

13

12

18

Effectifs cumulés croissants

5

15

30

40

47

60

72

90

\(\frac{90}{2}\) = 45 donc la médiane est la moyenne entre la \(\small 45^{ème}\) et la  \(\small 46^{ème}\) valeur : Me = \(\frac{131+131}{2}=131\).

\(\frac{90}{4}\) =2 2,5 donc Q1 est la  \(\small 23^{ème}\) valeur : Q1 = 128.

\(\frac{3\times90}{4}\) = 67,5 donc Q3 est la  \(\small 68^{ème}\) valeur : Q3 = 134.

 

Remarque : la médiane est un paramètre de position.

 

Propriétés :

Au moins 50% de la population a un caractère ≤ Me et au moins 50% de la population a un caractère ≥ Me.
Au moins 25% de la population a un caractère ≤ Q1 et au moins 75% de la population a un caractère ≥ Q1.
Au moins 75% de la population a un caractère ≤ Q3 et au moins 25% de la population a un caractère ≥ Q3.

 

Définitions : - étendue : Valeur max – Valeur min ;
                     - écart interquartile : Q3Q1 ;
                     - intervalle interquartile : [Q1 ; Q3] cet intervalle contient au moins 50% de la population.

 

Remarque : ce sont des paramètres de dispersion.

 

 
 

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Ensembles de nombres et calculs

1) Ensembles de nombres

Définitions : \(\mathbb{N}\) : ensemble des entiers naturels. \(\mathbb{N}\) = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...}
\(\mathbb{Z}\) : ensemble des entiers relatifs. \(\mathbb{Z}\) = {0 ; – 1 ; 1 ; – 2 ; 2 ; – 3 ; 3 ; ...}
\(\mathbb{D}\) : ensemble des nombres décimaux. Ayant un nombre fini de chiffres après la virgule.
\(\mathbb{Q}\) : ensemble des nombres rationnels. Qui peuvent s’écrire forme fraction de deux entiers.
\(\mathbb{R}\) : ensemble des nombres réels. Tous les nombres.

On a : \(\mathbb{N}\) \(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{D}\) \(\mathbb{Q}\) \(\mathbb{R}\). (Le symbole signifie : « est inclus dans »)

 

Définition : \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) (lire « \(\mathbb{R}\) privé de \(\mathbb{Q}\) ») dénote l’ensemble des nombres irrationnels, tous ceux que l’on ne peut pas écrire comme fraction de deux entiers. (Il y en a beaucoup !)

 

Exemples : 3720 \(\mathbb{N}\) et donc il appartient aussi à tous les autres ensembles.
                   – 13,25
\(\mathbb{D}\) et donc appartient aussi à \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\).
                   \(\frac{1}{3}\)
\(\mathbb{Q}\) mais \(\frac{1}{3}\) \(\mathbb{D}\).
                   π est un nombre irrationnel : π
\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\). (Très dur à démontrer)

 

 

 

2) Avec des nombres entiers

Définition : un entier n est un multiple d’un entier p s’il existe un entier k tel que n = k×p.

Exemples : - les multiples de 2 sont les nombres pairs ;
                   - un nombre est un multiple de 5 si son écriture se termine par 0 ou 5 ;
                   - un nombre est un multiple de 3 si la somme de ses chiffres l’est.

 

Définition : un entier m est un diviseur d’un entier q si q est un multiple de m, c’est-à-dire s’il existe un entier k tel que q = k×m.

 

Définition : un entier naturel est premier s’il n’admet que deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même.

 

Exemples : - le début de la liste des nombre premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.
                   - 369 n’est pas premier d’après le critère de divisibilité par 3.

 

Propriété : - les entiers pairs peuvent s’écrire sous la forme n = 2k avec k \(\mathbb{Z}\) ;
                  - les entiers impairs peuvent s’écrire sous la forme n = 2k + 1 avec k
\(\mathbb{Z}\)
.

 

 

 

3) Quelques démonstrations

Proposition 1 : pour tout entier a, la somme de deux multiples de a est un multiple de a.

Preuve : soient na et ma deux multiples de a : na + ma = (n + m)a est aussi un multiple de a.

 

Proposition 2 : Le carré d’un nombre impair est impair.

Preuve : un nombre impair est de la forme 2m + 1 ; (2m + 1)² = 4m² + 4m + 1 = 2(2m² + 2m) + 1 qui est de la forme 2k + 1 (poser k = 2m² + 2m) et donc qui est impair.

 

 

 

4) Avec des nombres décimaux

Propriété : toute grandeur peut s’écrire sous la forme a×\(\small 10^n\) avec n \(\mathbb{Z}\) et a [1 ; 10[.

\(\small 10^n\) est l’ordre de grandeur du réel.

Le nombre de chiffres de a est appelé nombre de chiffres significatifs

 

Exemples : \(\frac{\pi}{167}\) ≈ 0,01881 ≈ 1,9×\(\small 10^{-2}\) (avec 2 chiffres significatif).

                   180000 = 1,80×\(\small 10^5\) (avec 3 chiffres significatifs).

 

Propriété : tout nombre réel peut être encadré par deux nombre décimaux à \(\small 10^{-n}\) près.

 

Exemple : \(\frac{\sqrt{2}}{163}\) = 0,008670,01881... donc \(\small 8,6\times10^{-3}<\frac{\sqrt{2}}{163}<8,7\times10^{-3}\).

 

Définition : les deux décimaux utilisés pour cet encadrement sont des valeurs approchées par défaut et par excès du réel de départ.

 

Règles de calcul sur les puissances :

\(\small a^0\) = 1.
\(\small a^1\) = a.
\(\small a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).
\(\small a^m\times a^n=a^{m+n}\).
\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
\(\small (a^m)^n=a^{m\times n}\).
\(\small (ab)^n=a^{n}b^{n}\).
\({\left ( \frac{a}{b} \right )}^n=\frac{a^n}{b^n}\)

 

 

 

5) Avec des nombres rationnels

Définition : tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible \(\frac{p}{q}\) , p et q n’ayant pas de diviseur commun à part 1.

On dit alors que p et q sont premiers entre eux.

 

Exemple : \(\require{cancel}\frac{85}{35}=\frac{\cancel{5}\times 15}{\cancel{5}\times 7}=\frac{15}{7}\) avec 15 et 7 premiers entre eux.

 

Règles de calcul sur les fractions :

\(\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}\).
\(\frac{k\times a}{k \times b}=\frac{a}{b}\).
\(\frac{a}{d}+\frac{b}{d}=\frac{a+b}{d}\).
\(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}\).
\(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}\).

 

 

 

6) Avec des nombres irrationnels

Proposition : \(\small\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel.

Preuve : raisonnement par l’absurde.

Supposons que soit rationnel, dans ce cas il existe deux entiers positifs p et q tels que \(\small\sqrt{2}\) = \(\frac{p}{q}\). On peut choisir p et q tels que la fraction soit irréductibles, c’est à dire p et q premiers entre eux.
On a donc, en élevant au carré : 2 = \(\frac{p^2}{q^2}\). Et : 2q² = p².

Donc 2 divise
p² et donc ainsi que p sont pairs et on peut écrire p = 2n.
En remplaçant dans la deuxième égalité on a : 2q² = (2n
, c’est dire 2q² = 4n².
Donc, en divisant par 2, on obtient :
q² = 2n². Ceci entraine que q est pair lui aussi.
Ce qui est une contradiction car on a choisi p et q premiers entre eux.

 

Remarque : de la même façon on démontre que si k n’est pas un carré parfait \(\small\sqrt{k}\) est irrationnel.

 

Règles de calcul avec des racines carrées :

\(\small\sqrt{0}\) = 0.
\(\small\sqrt{1}\) = 1.

\(\small\sqrt{a^2}\) = |a|.

\(\small\sqrt{a}^2\) = a. si a ≥ 0.
\(\small\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) si a et b ≥ 0.
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) si a ≥ 0 et b > 0.
• Il n'y a pas de règle pour \(\small\sqrt{a+b}\).

 

Remarque : contrairement aux idées reçues : \(\small\sqrt{a^2}\) n’est pas toujours égal à a.

Contre-exemple, prenons a = – 2 : \(\small\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}\) = 2 ≠ – 2.

 

Proposition 1 : Quels que soient les réels positifs a et b, on a : \(\small\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\)

Preuve : \(\small{\sqrt{a\times b}}^2=a\times b\) et \(\small(\sqrt{a}\times\sqrt{b})^2={\sqrt{a}}^2\times{\sqrt{b}}^2= a\times b\).

Donc \(\small{\sqrt{a\times b}}^2={\sqrt{a}}^2\times {\sqrt{b}}^2\) et en prenant la racine carrée : \(\small|\sqrt{a\times b}|=|\sqrt{a}\times\sqrt{b}|\) mais on peut retirer les valeurs absolues car ces nombres sont tous positifs.

 

Proposition 2 : Quels que soient les réels strictement positifs a et b, on a : \(\small\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\).

Preuve : \(\small{\sqrt{a+b}}^2\) = a + b et \(\small(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2={\sqrt{a}}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+{\sqrt{b}}^2= a+b+2\sqrt{a}\sqrt{b}\) > a + b car \(\small2\sqrt{a}\sqrt{b}\) > 0.

Donc \(\small{\sqrt{a+b}}^2<(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\) et en prenant la racine carrée puis en retirant les valeurs absolues (on a le droit car la fonction racine carrée est strictement croissante et les nombres tous positifs) : \(\small\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\).

 

 

 

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Fonctions, généralités

1) Définitions

D est un ensemble de nombres (par exemple : un intervalle).

x est un nombre dans l’ensemble D.

Une fonction f  fait correspondre à chaque valeur de x son image f (x).

On note :

\(f: \small \begin{matrix} D \rightarrow \mathbb{R} \\ x \mapsto f(x) \end{matrix}\)

 

Vocabulaire :  D est le domaine de définition de la fonction.

x est la variable et  f (x) est son image.

 

On lit l’ensemble de définition en projetant la courbe sur l’axe des abscisses.


D = [x1 ; x2] est le domaine de définition de la fonction

 

 

2) Image d’un nombre

Définition : l'image de x est f (x).

 

Calcul : il suffit de remplacer la variable par la valeur du nombre.

 

Exemple : u(t) = t²t – 1. u( 4) = (– 4)² – (– 4) – 1 = 16 + 4 – 1 = 19. L’image de – 4 par u est 19.

 

Lecture graphique : la courbe représentative d’une fonction f définie sur un ensemble D est l’ensemble des points de coordonnées (x ; y) vérifiant y = f (x), x décrivant D.


M(x ; y) est sur la courbe représentative de f si et seulement si x D et y = f(x)

 

Construction de la courbe : on utilise un tableau de valeurs qu’on peut remplir à l’aide de la calculatrice.

 

Exemple : pour la fonction définie sur [– 1 ; 4] par f (x) = x² – 2x – 1.

Tableau de valeurs avec un pas de 0,5 :

x

– 1

– 0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

f (x)

2

0,25

– 1

– 1,75

– 2

– 1,75

– 1

0,25

2

4,25

7


Placement des points et tracé de la courbe

 

Remarque : dans le cas d’une fonction affine deux valeurs suffisent puisqu’on obtient une droite.

 

 

 

3) Antécédents d'un nombre

Définition : soit m un nombre réel, les antécédents de m par f sont les solutions de l’équation f (x) = m.

 

Exemple de calcul : la fonction carré définie sur \(\mathbb{R}\) par f (x) = x². Cherchons les antécédents de 4, de 0, de – 5 :

x² = 4 donc x = – 2 ou x = 2 donc 4 a deux antécédents par f qui sont – 2 et 2.
x² = 0 donc x = 0 donc 0 a un seul antécédent par f qui est 0.
x² = – 5 impossible donc – 5 n’a pas d’antécédent par f (un carré est toujours positif).

 

Lecture graphique des antécédents : les antécédents de m sont les abscisses des point d'ordonnée m de la courbe.


Les antécédents d'un réel m par f sont les solutions de l’équation f(x) = m

 

Résolution graphique de f (x) = g(x) : les solutions de l'équation f (x) = g(x) sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.


Résolution graphique de f(x) = g(x)

 

 

 

4) Résolution graphique d’une inéquation
Résoudre graphiquement l'inéquation f (x) ≥ m revient à trouver les abscisses des points de la courbe d'ordonnée plus grande que m.


Les solutions de l'inéquation f(x) ≥ m apparaissent en bleu clair sur l'axe des abscisses

 

On résout de la même façon les inéquations du type f (x) < m, f (x) ≤ g(x), etc.

 

Tableau de signe d’une fonction :

On résume dans un tableau le signe de f (x) (deuxième ligne) en fonction de x (première ligne).

Exemples :


Tableau de signe

  
 
 

5) Variations d’une fonction

Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I.


f est croissante sur I si pour tous a et b dans I :
ab f (a) ≤ f (b).


f est décroissante sur I si pour tous a et b dans I :
ab f (a) ≥ f (b).

 

Tableau de variation d’une fonction :

On résume dans un tableau les variations de f (x) (deuxième ligne) en fonction de x (première ligne).

Exemples :


Tableau de variation

 

 

 

6) Extremums d’une fonction

Définitions : le minimum de f est la plus petite valeur atteinte par f (x). Le maximum de f est la plus grande valeur atteinte par f (x).

On peut lire les extremums sur le graphique ou dans le tableau de variation.

 

Exemple : soit la fonction f dont les variations sont données par :

Le maximum de f est 3 atteint pour x = – 2 ou 5.
Le minimum de f est – 2 atteint pour x = 2.

 

 

 

7) Parité d’une fonction

Définition : un intervalle (ou une union d'intervalles) D est centré en 0 si pour tout x : xD ⇒ – x ∈ D.

 

Définitions : une fonction définie sur un intervalle (ou une union d'intervalles) D est paire si pour tout xD : f (– x) = f (x).

Une fonction définie sur un intervalle (ou une union d'intervalles) D est impaire si pour tout xD : f (– x) = – f (x).

 

Exemples : - la fonction carrée définie sur \(\mathbb{R}\) par f (x) = x² est paire car (– x)² = x².

                   - la fonction inverse définie sur \(\mathbb{R}\)\{0} par f (x) = \(\frac{1}{x}\) est impaire car \(\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}\).

 

Propriétés : la courbe représentative d'une fonction paire dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy) ;

                   la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine O du repère.


Fonction paire
                     
Fonction impaire

  

 

 

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Probabilités

1) Vocabulaire

Expérience aléatoire : expérience dont on ne connait que des éventualités de résultat (des issues).

Issue : une des éventualités de l’expérience aléatoire.

Univers : l’ensemble de toutes les issues, on le note souvent Ω.

Évènement : sous ensemble de l’univers. On peut le décrire par une phrase ou en l’énumérant.

 

Exemple : on tire une carte dans un jeu de 32.

L’univers est le jeu de carte et les issues sont les cartes.
On peut considérer l’évènement : A : « la carte est un as ».
On peut énumérer cet évènement : A = {1♥ ; 1♦ ; 1♣ ; 1♠}.

 

 

 

2) Loi de probabilité

Définition : on peut décrire une expérience aléatoire par sa loi de probabilité qui consiste à attribuer des probabilités élémentaires (nombres réels entre 0 et 1 dont la somme donne 1) aux éventualités.

 

Exemple : un dé truqué dont le 6 a plus de chance de tomber. On a la loi de probabilité :

Face

1

2

3

4

5

6

Probabilité

0,13

0,16

0,16

0,16

0,16

0,23

 

Remarque : 0,13 + 0,16 + 0,16 + 0,16 + 0,16 + 0,3 = 1 (la somme des probabilités élémentaires est toujours égale à 1).

 

Définition : on dit qu’il y a équiprobabilité (ou que l’expérience aléatoire suis une loi uniforme) si toutes les issues ont la même probabilité élémentaire (exemple pour un dé à six faces non truqué : \(\frac{1}{6}\) ).

 

Exemples : on tire une carte « au hasard », on joue à pile ou face avec une pièce « bien équilibrée », etc.

 

 

 

3) Probabilité d'un événement

Définition : la probabilité d’un évènement est la somme des probabilités élémentaires auxquelles il correspond.

 

Exemple : toujours avec le même dé truqué dont le 6 a plus de chance de tomber.

Face

1

2

3

4

5

6

Probabilité

0,13

0,16

0,16

0,16

0,16

0,23

Soit l’évènement A : « le résultat est pair ».

P(A) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = 0,16 + 0,16 + 0,23 = 0,55.

 

Cas particuliers : l’évènement certain est l’univers entier : P(Ω) = 1 ;

                            l’évènement impossible est l’ensemble vide : P(Ø) = 0.

 

Cas équiprobable : s’il y a équiprobabilité alors on a :

P(A) = \(\frac{\textrm{nombre d'issues dans A}}{\textrm{nombre total d'issues}}\).

 

 

 

4) Utilisation d’un arbre ou d'un tableau

Exemple 1 : dans une urne contenant deux boules bleues et 3 boules vertes on effectue un tirage au hasard, on note sa couleur, on remet la boule, on retire une boule et on note sa couleur.

L’ensemble des tirages peut être décrit par le tableau suivant et il y a équiprobabilité :

Calculer la probabilité de l’évènement A : « les deux boules sont de la même couleur » revient à compter le nombre de BB et de VV dans le tableau : P(A) = \(\frac{13}{25}\).

 

Exemple 2 : on joue trois fois d’affilée à pile ou face avec une pièce bien équilibrée. On peut représenter cette expérience aléatoire à l’aide de l’arbre :

Grace à cette description on voit que P(« au moins deux piles ») = \(\frac{4}{8}\)= 0,5.

 

 

 

5) Evènement contraire

Définition : le contraire de A est l’ensemble des issues qui ne sont pas dans A.

On le note \(\small\overline{\textrm{A}}\) et on a :  P(\(\small\overline{\textrm{A}}\)) = 1 – P(A).

 

Exemple : dans un groupe de personnes, si la probabilité de tomber sur une femme est de 0,58 alors celle de tomber sur un homme est égale à 1 – 0,58 = 0,42.

 

 

 

6) Union et intersection d’évènements

Définitions : A∪B est l’union de A et B : ensemble des issues qui sont dans A ou B.

A∩B est l’intersection de A et B : ensemble des issues qui sont dans A et B.

 

Propriété : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).

  

 

Exemple : on tire au hasard une carte dans un jeu de 32.

A : « la carte tirée est un cœur »        P(A) = \(\frac{8}{32}\).
B : « la carte tirée est une dame »      P(B) = \(\frac{4}{32}\).
A∩B est donc l’évènement : « la carte tirée est la dame de cœur ».             P(A∩B) = \(\frac{1}{32}\).
A∪B est l’évènement : « la carte tirée est une dame ou un cœur ».
On a : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = \(\frac{8}{32}+\frac{4}{32}- \frac{1}{32} = \frac{11}{32}\)  (il ne faut pas compter deux fois la dame de cœur).

 

Définition : si A∩B = Ø on dit que les deux évènements sont incompatibles, dans ce cas on a : P(A∪B) = P(A) + P(B).


Evénement incompatibles

 

 

 

7) Echantillonnage et intervalles de fluctuation

Définition : un échantillon de taille n est obtenu en répétant n fois l’expérience aléatoire suivante :

on prélève au hasard un élément d’une population, on note la valeur du caractère prélevé et on remet l’élément dans la population.
L’objectif est de comparer la fréquence f de l’échantillon et la proportion p de la population concernée.

 

Exemple : une urne contient 1000 billes réparties en 600 billes rouges et 400 billes noires.

On effectue 100 fois un tirage avec remise et on constate que 63% des billes tirées sont rouges.
Ici : p = 0,6.           f = 0,63.           n = 100.

 

Propriété : intervalle de fluctuation.

Soit p la proportion d’un caractère d’une population.
Soit f la fréquence d’un échantillon de taille n.
On suppose que p n’est pas trop proche de 0 ou 1 (par exemple : 0,2 < p < 0,8) et que n est assez grand.
Alors la probabilité que f  \(\left [ p- \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p+ \frac{1}{\sqrt{n}}\right ]\) est de 0,95.
L’intervalle \(\small\left [ p- \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p+ \frac{1}{\sqrt{n}}\right ]\) est appelé intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

 

Remarque : la condition f  \( \left [ p- \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p+ \frac{1}{\sqrt{n}}\right ]\) revient à dire que f et p sont proche à une précision \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) ou, en utilisant une valeur absolue, que : |fp| ≤ \(\frac{1}{\sqrt{n}}\).

 

Exemple : la figure ci-dessous représente le résultat d’une simulation d’échantillonnage.

On prélève N échantillons de taille n dans une urne contenant une proportion p de boules rouges. On calcule ensuite le pourcentage d'échantillons se trouvant dant l'intervalle de fluctuation et on constate que ce pourcentage est presque tout le temps supérieur à 95%.


Simulation d'une série d'échantillonnages

 

 

 

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Fonctions affines et équations de droites

1) Equation réduite d’une droite

Rappel : une droite peut être caractérisée par son équation réduite de la forme :

x = c si c’est une droite verticale ;
y = ax + b si elle représente une fonction affine.
Un point M(x ; y) est sur la droite si ses coordonnées vérifient l’équation.

 

 

 

2) Fonctions affines

Définitions : une fonction f définie sur \(\mathbb{R}\) est affine si on a pour tout x : f (x) = ax + b.

Sa représentation graphique est une droite non verticale.
a est le coefficient directeur (ou pente).
b est l’ordonnée à l’origine.
Si a = 0 la fonction est constante (droite horizontale).
Si b = 0 la fonction est linéaire (droite passant pas l’origine).
b est l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des (Oy).
a = \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{accroissement des }y}{\textrm{accroisssement des }x}\).

 


Equation réduite d'une droite

 

Propriété : deux droites sont parallèles si elles ont même coefficient directeur.

 

 

 

3) Quelques méthodes

Méthode 1 : trouver l’équation d’une droite passant par deux points donnés.

 

Exemple : déterminer l’équation réduite de la droite (AB) avec A(2 ; 1) et B(6 ; 2).

Calcul du coefficient directeur : a = \(\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-1}{6-2}=\frac{1}{4}\).

Calcul de l'ordonnée à l'origine, on a : yA = axA + b.
1 = \(\frac{1}{4}\) × 2 + b.
1 = \(\frac{1}{2}\) + b.
\(\frac{1}{2}\) = b.

Finalement l’équation réduite de la droite (AB) est : y = \(\frac{1}{4}\)x+\(\frac{1}{2}\).

 

Méthode 2 : montrer l’alignement de trois points.

 

Exemple : A(2 ; 1), B(5 ; 2) et C(– 1 ; 0) sont-ils alignés ?

Les points sont alignés si (AB) et (AC) ont même coefficient directeur.

Pente de (AB) : \(\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-1}{5-2}=\frac{1}{3}\). Pente de (AC) : \(\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{0-1}{-1-2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}\).

Conclusion : A, B et C sont alignés.

 

Méthode 3 : déterminer l’intersection de deux droites.

 

Exemple : trouver le point d’intersection des droites d1 : y = x + 1 et d2 : y = – 2x + 2.

On résout le système : \(\small \left \{ \begin{matrix} y=x+1.\;\;\;\;\\ y=-2x+2.\end{matrix} \right.\)

On calcule x : x + 1 = – 2x + 2.
3x = 1.
x = \(\frac{1}{3}\).
On calcule y : y = \(\frac{1}{3}\) + 1 = \(\frac{4}{3}\).

Le point d’intersection de d1 et d2 est : I\(\left ( \frac{1}{3}\; ; \; \frac{4}{3} \right )\).

 

 

 

4) Variations et signe de ax + b

Propriétés : la solution de l’équation ax + b = 0 est \(-\frac{b}{a}\).

Si a > 0 alors f est croissante :
  

Si a < 0 alors f est décroissante :

 

On en déduit le tableau de signe de ax + b :

Si a > 0 :


                  

Si a < 0 :


 

 

5) Inéquations du premier degré

Méthode de résolution :

isoler x dans un membre sans oublier que si on multiplie ou divise un nombre négatif on change le sens,
donner les solutions sous forme d’intervalle.

 

Exemple : résoudre l’inéquation 2x – 7 < 5x + 3.

2x – 5x < 3 + 7.
–3x < 10.
x > \( -\frac{10}{3}\).                             S = ]\(-\frac{10}{3}\) ; + ∞[.

 

 

 

6) Signe d’un produit, d'un quotient

Principe : "empiler" les tableaux de signe des facteurs affines.

 

Exemple 1 : étude du signe de A(x) = (3x – 1)(5 – x).

3x – 1 = 0.
x = \(\frac{1}{3}\)

 

5 – x = 0.
x = 5.

 

Exemple 2 : étude du signe de B(x) = \(\frac{x-1}{x+1}\) sur \(\mathbb{R}\)\{– 1}.

x – 1 = 0.             
x = 1.

x + 1 = 0.                 
x = – 1.

 

 

 

7) Inéquations se ramenant au premier degré

Méthode de résolution :

transposer tout dans un membre,
factoriser (réduire au même dénominateur) sous la forme d’un produit (ou quotient) de fonctions affines,
dresser un tableau de signe,
lire les solutions dans le tableau (intervalle ou union d’intervalles).

 

Exemple 1 : résoudre l’inéquation (2x + 5)² ≥ (x – 1)².

(2x + 5)² – (x – 1)² ≥ 0.

[(2x + 5) – (x – 1)][(2x + 5) + (x – 1)] ≥ 0.

(x + 6)(3x + 4) ≥ 0.

x + 6 = 0.
x = – 6.

x + 4 = 0.
x = \( -\frac{4}{3}\).

S = ]– ∞ ; – 6]È[\( -\frac{4}{3}\) ; + ∞[.

 

Exemple 2 : résoudre l’inéquation \(\frac{1}{2x-1}\) ≥ 1. Il faut 2x – 1 ≠ 0 donc x \( \frac{1}{2}\).

\( \frac{1}{2x-1}\) – 1 ≥ 0.
\(\frac{1}{2x-1}\)\(\frac{2x-1}{2x-1}\) ≥ 0.
\( \frac{1-2x+1}{2x-1}\) ≥ 0.
\(\frac{-2x+2}{2x-1}\) ≥ 0.

 

– 2x + 2 = 0.
x = 1.

 

2x – 1 = 0.
 x = \(\frac{1}{2}\).

S = ]\(\frac{1}{2}\) ; 1].

 

 

 

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Vecteurs 1

1) Définitions

Définition : un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur (ou norme). Notation : \(\small \overrightarrow{v}\).

Un vecteur peut être représenté par deux points, on écrira alors \(\small \overrightarrow{AB}\).


Deux vecteurs

 

Remarque : le vecteur de longueur nulle est noté \(\small \overrightarrow{0}\).

 

Définition : \(\small -\overrightarrow{v}\) est le vecteur de même direction que \(\small \overrightarrow{v}\), même longueur et sens opposé. On a \(\small -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\).


Opposé d'un vecteur

 

Définition : un vecteur \(\small \overrightarrow{v}\) peut être associé à une translation. L'image d'un point M par cette translation est le point M' tel que \(\small \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\).


Image d'un Pac-Man par la translation de vecteur \(\small \overrightarrow{v}\)

 

 

 

2) Egalité de vecteurs

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même longueur.


Des vecteurs dont deux égaux

 

 
 

3) Somme de vecteurs et relation de Chasles

Définition : la somme (ou résultante) de vecteurs s’obtient en les mettant les uns après les autres.


Somme de deux vecteurs

 

Relation de Chasles : pour tous points A, B, C : \(\small \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)


Relation de Chasles

 

Remarque 1 : une autre façon de dessiner la somme de deux vecteurs est de construire la diagonale d’un parallélogramme.


Somme de deux vecteurs et parallélogramme

 

Remarque 2 : si on enchaine deux translations de vecteurs \(\small \overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\), on obtient une translation de vecteur \(\small \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\).

 

 

 

4) Produit d’un vecteur par un nombre et colinéarité

Définition : pour multiplier un vecteur \(\small \overrightarrow{v}\) par un nombre réel k, on sépare deux cas :

Si k > 0 :

\(\small k\overrightarrow{v}\) a la même direction que \(\small \overrightarrow{v}\), le même sens
et sa longueur est multipliée par k.

                  

Si k < 0 :

\(\small k\overrightarrow{v}\) a la même direction que \(\small \overrightarrow{v}\), le sens opposé
et sa longueur est multipliée par – k.


Multiplication d'un vecteur par un réel

 

Remarque : pour k = 0, on obtient : \(\small 0\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\).

 

Définition : deux vecteurs non nuls sont dits colinéaires s’ils ont la même direction.

 

Propriété : \(\small\overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\) colinéaires il existe un réel k tel que \(\small \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\).

 

 

 

5) Vecteurs en géométrie

Propriété 1 : caractérisation d'un parallélogramme.

ABCD parallélogramme \(\small \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).


Vecteurs et parallélogramme

 

Propriété 2 : loi du parallélogramme.

ABCD parallélogramme \(\small\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).


Loi du parallélogramme

 

Remarque : les parallélogrammes peuvent être aplatis.

 

Propriété 3 : caractérisation du milieu d'un segment.

I milieu de [AB] \(\small \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}\).


Milieu et vecteurs

 

Remarque : on a également \(\small \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}\), \(\small \overrightarrow{IB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), etc.

  

Propriété 4 : parallélisme.

(AB) et (CD) parallèles \(\small\overrightarrow{AB}\) et \(\small \overrightarrow{CD}\) colinéaires.


Vecteurs et parallélisme

 

Propriété 5 : alignement.

A, B et C alignés \(\small \overrightarrow{AB}\) et \(\small \overrightarrow{AC}\) colinéaires.


Vecteurs et alignement

  

 

 

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Fonctions usuelles

1) Fonctions affines

\( \mathbb{R}\) \( \mathbb{R}\)
 x ax + b. La courbe d'équation y = ax + b est une droite (a : coefficient directeur ; b : ordonnée à l’origine).

Si a > 0 : Si a < 0 :

Variations :

Variations :

Signe :

Signe :

Propriété : l’équation ax + b = 0 a une pour solution : S = \(\left \{ -\frac{b}{a}\right \}\).

 

 

 

2) Fonction carré

\( \mathbb{R}\) \( \mathbb{R}\)
 x x². La courbe d’équation y = x² et une parabole, elle est symétrique par rapport à l'axe (Oy) du repère (fonction paire).


Fonction carré

Variations :

 

 
Signe :

 

Propriété : Les antécédents de m sont les solutions de l’équation x² = m :

si m < 0 : pas de solution S = Ø,
si m = 0 : 0 est l’unique solution S = {0},
si m > 0 : 2 solutions S = \(\small \left \{ -\sqrt{m} \; ; \; \sqrt{m} \right \}\).

 

Exemple : résoudre l'équation (3x + 1)² = 5.

3x + 1 = – \(\small \sqrt{5}\) ou 3x + 1 = \(\small \sqrt{5}\).
3x = – 1 – \(\small \sqrt{5}\)
3x = –1 + \(\small \sqrt{5}\).
x = \(\small \frac{-1-\sqrt{5}}{3}\) x = \(\small \frac{-1+\sqrt{5}}{3}\). S = \(\small \left \{ \frac{-1-\sqrt{5}}{3}\; ; \; \frac{-1+\sqrt{5}}{3} \right \}\)
.

 

 

 

3) Fonction inverse

\( \mathbb{R}\)\{0} \( \mathbb{R}\)
     x    ↦  \(\frac{1}{x}\). La courbe d’équation y = \( \frac{1}{x}\) est une hyperbole , elle est symétrique par rapport à l'origine O du repère (fonction impaire).


Fonction inverse

Variations :

 

 
Signe :

 

Propriété : Les antécédents de m sont les solutions de l’équation \(\frac{1}{x}\) = m :

si m = 0 : pas de solution S = Ø,
si m ≠ 0 : \(\frac{1}{m}\) est l’unique solution S = \(\left \{ \frac{1}{m}\right \}\).

 

Exemple : résoudre l'équation \(\frac{1}{3x+1}\) = 5.

3x + 1 = \(\frac{1}{5}\).
3x = – 1 + \( \frac{1}{5}\)
= \(-\frac{4}{5}\).
x = \( \frac{-\frac{4}{5}}{3}\)
= \( -\frac{4}{15}\). S = \(\left \{ -\frac{4}{15}\right \}\)
.

 

 

 

4) Fonction racine carrée

[0 ; + ∞[ → \( \mathbb{R}\)
      x       \(\small\sqrt{x}\). La courbe d’équation y = \(\small\sqrt{x}\) est une demi-parabole,


Fonction racine carrée

Variations :

 

 

Signe :

 

Propriété : si m > 0 l’équation = m a une solution : S = {m²}.

 

 

 

5) Fonction cube

\( \mathbb{R}\)\( \mathbb{R}\)
 x x³.          (fonction impaire)


Fonction cube

Variations :

 

 
S
igne :

 

Propriété : l’équation = m a une unique solution que l’on notera \(\small m^{\frac{1}{3}}\) ou \(\small\sqrt[3]{m}\) : S = {\(\small\sqrt[3]{m}\)}.

 

 

 

6) Comparaison de x, x² et x³

Propriété : soit x un nombre réel strictement positif :
            si x
]1 ; + ∞[ alors x < x2 < x3 ;
            si x
]0 ; 1[ alors x > x2 > x3 ;
Preuve : voir exercice.


Comparaison de x, x² et x³

 

 

 

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Vecteurs 2

1) Coordonnées de vecteurs

Définition : dans un repère d’origine O, les coordonnées d’un vecteur \(\small \overrightarrow{v}\) sont celles du point M(x ; y) tel que \(\small \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{v}\).

On note : \(\small \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\).


Les coordonnées de sont les mêmes que celles de M vérifiant \(\small \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{v}\)

 

Remarque : on appelle \(\small \overrightarrow{i}\) et \(\small \overrightarrow{j}\) les vecteurs \(\small \overrightarrow{i}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\small \overrightarrow{j}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\). Alors on a \(\small \overrightarrow{v}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\).

 

Propriété 1 : calcul des coordonnées d'un vecteur défini par deux points. Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points dans un repère du plan.

Alors, les coordonnées du vecteur \(\small \overrightarrow{AB}\) sont : \(\small \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \end{pmatrix}\).

 

Propriété 2 : les calculs vectoriels se traduisent par des calculs équivalents sur chaque coordonnée.

Si les coordonnées de \(\small \overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\) sont \(\small \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\) et \(\small \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\) et si k est un réel.
Alors : \(\small k\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} kx\\ ky \end{pmatrix}\) et \(\small \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x+x'\\ y+y' \end{pmatrix}\).

 

Exemple : soient dans un repère : A(1 ; 2), B(5 ; – 4), C(– 1 ; 3). Calculer les coordonnées de \(\small 2\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

\(\small \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5-1\\ -4-2 \end{pmatrix}\) donc : \(\small \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4\\ -6 \end{pmatrix}\). \(\small \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1-1\\ 3-2 \end{pmatrix}\) donc : \(\small \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}\).
\(\small 2\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\times4-\frac{1}{2}\times(-2)\\ 2\times(-6)-\frac{1}{2}\times1 \end{pmatrix}\) donc : \(\small 2\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 9\\ -12,5\end{pmatrix}\).

 

 

 

2) Déterminant de deux vecteurs

Définition : soient deux vecteurs \(\small \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\) et \(\small \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\).
Le déterminant de \(\small \overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\) est noté det(\(\small \overrightarrow{u}\) ; \(\small \overrightarrow{v}\)), il est égal à : det(\(\small \overrightarrow{u}\) ; \(\small \overrightarrow{v}\)) = xy’yx’.

 

Remarque : le déterminant de deux vecteurs dépend du repère et de l’ordre des vecteurs. (En fait on peut facilement montrer que det(\(\small \overrightarrow{v}\) ; \(\small \overrightarrow{u}\)) = – det(\(\small \overrightarrow{u}\) ; \(\small \overrightarrow{v}\))).

 

Théorème : soient \(\small \overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\) deux vecteurs non nuls.
\(\small \overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\) colinéaires ⇔ det(\(\small \overrightarrow{u}\) ; \(\small \overrightarrow{v}\)) = 0.
Preuve : \(\small \overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\) colinéaires ⇔ il existe k tel que \(\small \overrightarrow{u}=k\small \overrightarrow{v}\).
Mais \(\small \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\) et \(\small k\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} kx'\\ ky' \end{pmatrix}\).
On a donc x = kx' et y = ky'. Alors det(\(\small \overrightarrow{u}\) ; \(\small \overrightarrow{v}\)) = xy'yx' = kx'y'ky'x' = 0.
Réciproque : exercice (plus dur).

 

Exemple : soient A(1 ; 2), B(3 ; – 4), C(0 ; 5). A, B et C sont-ils alignés ?

\(\small \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3-1\\ -4-2 \end{pmatrix}\) donc : \(\small \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2\\ -6 \end{pmatrix}\).

\(\small \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0-1\\ 5-2 \end{pmatrix}\) donc : \(\small \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1\\ 3 \end{pmatrix}\).

det(\(\small \overrightarrow{AB}\) ; \(\small \overrightarrow{AC}\)) = 2×3 – (– 6)×(– 1) = 6 – 6 = 0.

Donc \(\small \overrightarrow{AB}\) et \(\small \overrightarrow{AC}\) sont colinéaires et A, B, C sont alignés.

 

 

 

3) Equation cartésienne et vecteur directeur d’une droite

Définition : un vecteur directeur d’une droite D est un vecteur de même direction que D.


Une droite et trois vecteurs directeurs

 

Remarque : une droite a une infinité de vecteurs directeurs et ils sont tous colinéaires.

 

Définition : une équation cartésienne est une équation à deux variables x et y de la forme : ax + by + c = 0. Avec a et b non nuls en même temps.

 

Théorème : Soient D une droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0.
Alors le vecteur \(\small \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b\\ a \end{pmatrix}\)
est un vecteur directeur de la droite D.

 


Equation cartésienne et vecteur directeur

 

Méthode 1 : réduire une équation de droite.

Si b ≠ 0 :                                                Si b = 0 :

ax + by + c = 0.                                      ax + c = 0.
by = – axc.                                          ax = – c.
y = \(-\frac{b}{a}x-\frac{c}{b}\). (droite non verticale)     x = – \(\frac{c}{a}\). (droite verticale)

 

Méthode 2 : trouver une équation cartésienne en utilisant un déterminant.

Soient A(1 ; 2), B(3 ; – 4). Déterminer une équation de la droite (AB).

M(x ; y) (AB) \(\small \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-1\\ y-2 \end{pmatrix}\) et \(\small \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2\\ -6 \end{pmatrix}\) colinéaires.
On a donc : det(\(\small \overrightarrow{AM}\) ; \(\small \overrightarrow{AB}\)) = 0.
(x – 1)×(– 6) – (y – 2)×2 = 0.
– 6x + 6 – 2y + 4 = 0.
– 6x – 2y + 10 = 0.
3x + y – 5 = 0.

 

 

 

4) Systèmes et intersection de droites

Définition : un système linéaire de deux équations à deux inconnues se présente sous la forme : \(\small\left\{\begin{matrix} ax+by+c=0\;\;\;\\ a'x+b'y+c'=0 \end{matrix}\right.\)

Résoudre un tel système consiste à trouver les couples (x ; y) qui vérifient simultanément les deux équations.

 

Interprétation graphique : à chaque équation on peut associer une droite dans un repère du plan. Il y a donc trois possibilités :

les droites sont sécantes, alors il existe un unique couple (x ; y) solution du système correspondant au point d'intersection ;
les droites sont parallèles, alors il n'y a pas de solution ((a ; b) et (a' ; b') proportionnels) ;
les droites sont confondues, alors une infinité de solutions chacune correspondant à un point de la droite (les équations sont proportionnelles).

 

Méthodes de résolution : pour résoudre le système on utilise le principe suivant : on élimine une des deux inconnues par une combinaison ou substitution, on est alors ramené à résoudre successivement deux équations du premier degré.

On considère le système : \(\small\left\{\begin{matrix} x+y+4=0\;(E1)\;\;\\ 2x-y+1=0\;(E2) \end{matrix}\right.\)

Méthode par substitution : on exprime y en fonction de x dans une des deux équations et on remplace dans l'autre.
(E1) : y = – x – 4.
On remplace dans (E2) : 2x – (– x – 4) + 1 = 0.
                                        3x + 5 = 0.
                                         x = – \(\frac{5}{3}\).
On remplace dans (E1) : y = \(\frac{5}{3}\) – 4 = \(\frac{7}{3}\).
Solution : x\(\frac{5}{3}\) et y = \(\frac{7}{3}\).

 

Méthode par combinaisons : en effectue des combinaisons des deux équations afin d'éliminer chaque des inconnue.
            (E1) : x + y + 4 = 0.
            (E2) : 2xy + 1 = 0.
Par addition : 3x + 5 = 0. Donc : x = – \(\frac{5}{3}\).
              
(E1)×2 : 2x + 2y + 8 = 0.
                   (E2) : 2xy + 1 = 0.
Par soustraction : 3y + 7 = 0. Donc : y = – \(\frac{7}{3}\).
Solution : x\(\frac{5}{3}\) et y = \(\frac{7}{3}\).

 

Remarque : il y a d'autres méthodes (voir exercices).

 

 

 

5) Repère lié à une figure géométrique

Définition : un repère peut être défini par un point d’origine O et de vecteurs non colinéaire \(\small \overrightarrow{i}\) et \(\small \overrightarrow{j}\).

Notation : (O ; \(\small \overrightarrow{i}\), \(\small \overrightarrow{j}\)).

 

Remarque : le repère (A ; \(\small \overrightarrow{AB}\), \(\small \overrightarrow{AC}\)) lié au triangle ABC n’est pas orthonormé mais les formules restent valables sauf pour la formule de distance vue en début d’année.


Coordonnées d’un point dans le repère (A ; \(\small \overrightarrow{AB}\), \(\small \overrightarrow{AC}\))
lié au triangle ABC

 

 

 

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Géométrie 2

1) Droites remarquables du triangle

Définition 1 : la médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants de ses extrémités. Elle coupe le segment perpendiculairement en son milieu.

 

Propriété 1 : les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes au point O centre du cercle circonscrit au triangle.

Preuve : O est sur la médiatrice de [AB] donc OA = OB.

Il est également sur la médiatrice de [BC] donc OB = OC.
OA = OB = OC donc A, B et C sont sur un même cercle de centre O et de rayon OA.


Médiatrices et centre du cercle circonscrit

 

Définition 2 : la bissectrice d’un angle le divise en deux angles de mêmes mesures.

 

Propriété 2 : les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point I centre du cercle inscrit dans le triangle.


Bissectrices et centre du cercle inscrit

 

Définition 3 : une médiane d’un triangle rejoint un sommet au milieu du côté opposé. Elle coupe le triangle en deux triangles de même aire.

 

Propriété 3 : les trois médianes d’un triangle sont concourantes au point G centre de gravité du triangle.


Médianes et centre de gravité

 

Proposition : soit ABC un triangle et G un point.

Si \(\small\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) alors G est le centre de gravité de ABC.

Preuve : appelons A’, B’ et C’ les milieux respectifs de [BC], [AC] et [BC].

\(\small\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
\(\small\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{0}\). (D’après la relation de Chasles)
\(\small3\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{0}\).
\(\small3\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{0}\). (Car A’ milieu de [BC] ⇒ \(\small\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{0}\))
\(\small\overrightarrow{A'A}=3\overrightarrow{A'G}\) ou bien \(\small\overrightarrow{A'G}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A'A}\)
Donc \(\small\overrightarrow{A'A}\) et \(\small\overrightarrow{A'G}\) sont colinéaires et G ∈ (AA’) médiane issue de A du triangle ABC.
On peut faire le même calcul avec et ou avec et donc G est bien le point de concours des trois médianes, c’est-à-dire le centre de gravité de ABC.

 

Remarques : - en fait on a l’équivalence : \(\small\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) G est le centre de gravité de ABC (réciproque en exercice) ;
                     - on a en plus démontré que G se situe au tiers de la médiane en partant du milieu d’un côté ;
                     - le centre de gravité est le point d’équilibre d’une plaque solide triangulaire. (Car les médianes séparent le triangle en triangles de même aire)

 

Définition 4 : une hauteur d’un triangle rejoint un sommet perpendiculairement à son côté opposé. Elle permet de calculer l’aire du triangle (\(\mathcal{A}=\frac{\mathcal{B}\times h}{2}\)).

 

Propriété 4 : les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes au point H orthocentre du triangle.


Hauteurs et orthocentre

 


Droites remarquables du triangle

 

 

 

2) Théorème(s) de Thales

Théorème : (Thalès) soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC). (Voir figure).

Alors on a : \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{AB}\).


Configurations de Thalès

 

Remarque : on a également : \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\), \(\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}\), etc.

 

Cas particulier : (théorème des milieux) la droite reliant les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.

 

Théorème : (réciproque du théorème de Thalès) dans un triangle ABC, soient deux points D et E appartenant respectivement aux segments [AB] et [AC].

Si \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\) alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

 

Théorème : (théorème de Thalès vectoriel) soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC). (Voir figure)

Alors : \(\small \overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{AD}\)\(\small \overrightarrow{AC}=k \overrightarrow{AE}\) (même k).

Réciproquement : s’il existe k tel que \(\small \overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{AD}\) et \(\small \overrightarrow{AC}=k \overrightarrow{AE}\) (même k) alors \(\small \overrightarrow{BC}=k \overrightarrow{DE}\) (toujours même k) et donc (DE)//(BC).


Théorème de Thalès vectoriel et sa réciproque.

 

Remarque 1 : la réciproque est une conséquence directe de la relation de Chasles. (Démonstration en exercice)

 

Remarque 2 : il existe d’autres versions du théorème de Thales (généralisé, dans l’espace, projectif, etc.)

 

 

 

3) Homothéties

Définition : soient O un point et k un réel non nul. L’image d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport k est le point M’ vérifiant : \(\small \overrightarrow{OM'}=k \overrightarrow{OM}\).


Définition vectorielle d’une homothétie

 

Remarque : si k = – 1 on obtient une symétrie centrale.

 

Propriété : l’image d’un vecteur \(\small \overrightarrow{v}\). par une homothétie de rapport k est égale à k\(\small \overrightarrow{v}\).

Preuve : Appelons \(\small \overrightarrow{v '}\) l’image de \(\small \overrightarrow{v}\) .

On peut trouver deux points M et P tels que \(\small \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MP}\).
Alors \(\small \overrightarrow{v '}=\overrightarrow{M'P'}\)M’ et P’ sont les images de M et P par l’homothétie dont nous appellerons O le centre.
On a : \(\small\overrightarrow{v '}= \overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\) donc \(\small \overrightarrow{M'O}=k\overrightarrow{MO}\) ainsi que \(\small \overrightarrow{OP'}=k\overrightarrow{OP}\).
Donc : \(\small\overrightarrow{v '}= \overrightarrow{M'P'}=\overrightarrow{M'O}+\overrightarrow{OP'}=k\overrightarrow{MO}+k\overrightarrow{OP}=k(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OP})=k\overrightarrow{MP}=k\overrightarrow{v}\).


Image d’un vecteur par une homothétie (on reconnaît une configuration de Thalès)

 

 

 

4) Trigonométrie dans un triangle rectangle

Définitions : soit ABC un triangle rectangle et α un angle autre que l’angle droit.


Cosinus, sinus et tangente d’un angle

 

Remarque : en général on oublie les parenthèses s’il n’y a pas d’ambiguïté : cosα, sinα, tanα par exemple ne sont pas des écritures ambiguës, mais cosα² l’est car on ne sait pas s’il s’agit de (cosα)² ou de cos(α²).

 

Proposition : pour tout angle α, cos²α + sin²α = 1. (Notation : cos²α = (cosα)² et sin²α = (sinα)²)

Preuve : cosα = \(\frac{AB}{AC}\) donc cos²α = \(\frac{AB^2}{AC^2}\). De même : sin²α = \(\frac{BC^2}{AC^2}\).

Donc : cos²α + sin²α = \(\frac{AB^2}{AC^2}+\frac{BC^2}{AC^2}=\frac{AB^2+BC^2}{AC^2}=\frac{AC^2}{AC^2}\) = 1 (en effet, d’après le Théorème de Pythagore : AB² + BC² = AC²).
CQFD.

 

 

 

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