Cours Math 2de

Nombres réels et intervalles

1) Droite réelle

Notation : \(\mathbb{R}\) désigne l’ensemble des nombres réels (c'est à dire : tous les nombres). Il peut être représenté par un axe.


Axe réel

 

 

 

2) Intervalles réels

Définitions : soient deux nombres a et b tels que a < b.

L’intervalle [a ; b] est l’ensemble des réels x vérifiant axb.
L’intervalle ]a ; b[ est l’ensemble des réels x vérifiant a < x < b.
L’intervalle [a ; + [ est l’ensemble des réels x vérifiant xa.

L’intervalle ]– ∞ ; a[ est l’ensemble des réels x vérifiant x < a.

etc.

 


Intervalles

 

Exemple : Résoudre l'inéquation 4x + 5 ≤ x + 1. Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

4x + 5 ≤ x + 1.
4xx ≤ 1 – 5.
3x ≤ – 4.
x\(-\frac{4}{3}\). S = ]– ∞ ; \(-\frac{4}{3}\)].

 

Remarque : axb est équivalent à : x ≥ a et xb.

 

 

 

3) Union d’intervalles

Définition : soient I et J deux intervalles. L’union (ou la réunion) de I et J est l’ensemble des réels x qui sont dans I ou dans J.

On note cet ensemble IJ.

 

Exemple : x ]– ∞ ; 2[[4 ; 6] signifie que x < 2 ou 4x ≤ 6.


Union d'intervalles

 

 

 

4) Valeur absolue et intervalles centrés

Définition : la valeur absolue d’un nombre x est notée |x|. Elle est définie par :

|x| = \(\left\{\begin{matrix} x\;\;\textrm{si}\;x\geq 0\\ -x\;\;\textrm{si}\;x<0 \end{matrix}\right.\)

 

Exemples : |2,5| = 2,5. \(\left | \frac{-8}{3} \right |=\frac{8}{3}\). |3 – π| = π – 3 car π > 3.

 

Remarques : - pour tout réel x : \(\sqrt{{x^{2}}}\) = |x| ;

- pour tous réels a et b : |ab| est la distance entre a et b.

Propriété : un intervalle ouvert ]a ; b[ (respectivement fermé [a ; b]) peut être vu comme l’ensembles des réels dont la distance au centre c = \(\frac{a+b}{2}\) est un strictement inférieure (respectivement inférieure ou égale) à la valeur r = \(\frac{b-a}{2}\) le rayon de l’intervalle, c’est sa demi-amplitude.

  

 

 

5) Calculs avec des nombres réels

Distributivité : k(a + b)=ka + kb.

 

Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

 

Identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b².

                                        (a – b)² = a² − 2ab + b².

                                        (a – b)(a + b) = a² – b².

Preuves : - 1ère identité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². CQFD

                - 2ème identité : (a – b)² = (a – b)(a – b) = a² − abba + b² = a² − abab + b² = a² − 2ab + b². CQFD

                - 3ème identité : (a – b)(a + b) = a² + abbab² = a² + ababb² = a² − b². CQFD

 

 

 

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