Cours Math 2de

Probabilités

1) Vocabulaire

Expérience aléatoire : expérience dont on ne connait que des éventualités de résultat (des issues).

Issue : une des éventualités de l’expérience aléatoire.

Univers : l’ensemble de toutes les issues, on le note souvent Ω.

Évènement : sous ensemble de l’univers. On peut le décrire par une phrase ou en l’énumérant.

 

Exemple : on tire une carte dans un jeu de 32.

L’univers est le jeu de carte et les issues sont les cartes.
On peut considérer l’évènement : A : « la carte est un as ».
On peut énumérer cet évènement : A = {1♥ ; 1♦ ; 1♣ ; 1♠}.

 

 

 

2) Loi de probabilité

Définition : on peut décrire une expérience aléatoire par sa loi de probabilité qui consiste à attribuer des probabilités élémentaires (nombres réels entre 0 et 1 dont la somme donne 1) aux éventualités.

 

Exemple : un dé truqué dont le 6 a plus de chance de tomber. On a la loi de probabilité :

Face

1

2

3

4

5

6

Probabilité

0,13

0,16

0,16

0,16

0,16

0,23

 

Remarque : 0,13 + 0,16 + 0,16 + 0,16 + 0,16 + 0,3 = 1 (la somme des probabilités élémentaires est toujours égale à 1).

 

Définition : on dit qu’il y a équiprobabilité (ou que l’expérience aléatoire suis une loi uniforme) si toutes les issues ont la même probabilité élémentaire (exemple pour un dé à six faces non truqué : \(\frac{1}{6}\) ).

 

Exemples : on tire une carte « au hasard », on joue à pile ou face avec une pièce « bien équilibrée », etc.

 

 

 

3) Probabilité d'un événement

Définition : la probabilité d’un évènement est la somme des probabilités élémentaires auxquelles il correspond.

 

Exemple : toujours avec le même dé truqué dont le 6 a plus de chance de tomber.

Face

1

2

3

4

5

6

Probabilité

0,13

0,16

0,16

0,16

0,16

0,23

Soit l’évènement A : « le résultat est pair ».

P(A) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = 0,16 + 0,16 + 0,23 = 0,55.

 

Cas particuliers : l’évènement certain est l’univers entier : P(Ω) = 1 ;

                            l’évènement impossible est l’ensemble vide : P(Ø) = 0.

 

Cas équiprobable : s’il y a équiprobabilité alors on a :

P(A) = \(\frac{\textrm{nombre d'issues dans A}}{\textrm{nombre total d'issues}}\).

 

 

 

4) Utilisation d’un arbre ou d'un tableau

Exemple 1 : dans une urne contenant deux boules bleues et 3 boules vertes on effectue un tirage au hasard, on note sa couleur, on remet la boule, on retire une boule et on note sa couleur.

L’ensemble des tirages peut être décrit par le tableau suivant et il y a équiprobabilité :

Calculer la probabilité de l’évènement A : « les deux boules sont de la même couleur » revient à compter le nombre de BB et de VV dans le tableau : P(A) = \(\frac{13}{25}\).

 

Exemple 2 : on joue trois fois d’affilée à pile ou face avec une pièce bien équilibrée. On peut représenter cette expérience aléatoire à l’aide de l’arbre :

Grace à cette description on voit que P(« au moins deux piles ») = \(\frac{4}{8}\)= 0,5.

 

 

 

5) Evènement contraire

Définition : le contraire de A est l’ensemble des issues qui ne sont pas dans A.

On le note \(\small\overline{\textrm{A}}\) et on a :  P(\(\small\overline{\textrm{A}}\)) = 1 – P(A).

 

Exemple : dans un groupe de personnes, si la probabilité de tomber sur une femme est de 0,58 alors celle de tomber sur un homme est égale à 1 – 0,58 = 0,42.

 

 

 

6) Union et intersection d’évènements

Définitions : A∪B est l’union de A et B : ensemble des issues qui sont dans A ou B.

A∩B est l’intersection de A et B : ensemble des issues qui sont dans A et B.

 

Propriété : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).

  

 

Exemple : on tire au hasard une carte dans un jeu de 32.

A : « la carte tirée est un cœur »        P(A) = \(\frac{8}{32}\).
B : « la carte tirée est une dame »      P(B) = \(\frac{4}{32}\).
A∩B est donc l’évènement : « la carte tirée est la dame de cœur ».             P(A∩B) = \(\frac{1}{32}\).
A∪B est l’évènement : « la carte tirée est une dame ou un cœur ».
On a : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = \(\frac{8}{32}+\frac{4}{32}- \frac{1}{32} = \frac{11}{32}\)  (il ne faut pas compter deux fois la dame de cœur).

 

Définition : si A∩B = Ø on dit que les deux évènements sont incompatibles, dans ce cas on a : P(A∪B) = P(A) + P(B).


Evénement incompatibles

 

 

 

7) Echantillonnage et intervalles de fluctuation

Définition : un échantillon de taille n est obtenu en répétant n fois l’expérience aléatoire suivante :

on prélève au hasard un élément d’une population, on note la valeur du caractère prélevé et on remet l’élément dans la population.
L’objectif est de comparer la fréquence f de l’échantillon et la proportion p de la population concernée.

 

Exemple : une urne contient 1000 billes réparties en 600 billes rouges et 400 billes noires.

On effectue 100 fois un tirage avec remise et on constate que 63% des billes tirées sont rouges.
Ici : p = 0,6.           f = 0,63.           n = 100.

 

Propriété : intervalle de fluctuation.

Soit p la proportion d’un caractère d’une population.
Soit f la fréquence d’un échantillon de taille n.
On suppose que p n’est pas trop proche de 0 ou 1 (par exemple : 0,2 < p < 0,8) et que n est assez grand.
Alors la probabilité que f  \(\left [ p- \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p+ \frac{1}{\sqrt{n}}\right ]\) est de 0,95.
L’intervalle \(\small\left [ p- \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p+ \frac{1}{\sqrt{n}}\right ]\) est appelé intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

 

Remarque : la condition f  \( \left [ p- \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p+ \frac{1}{\sqrt{n}}\right ]\) revient à dire que f et p sont proche à une précision \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) ou, en utilisant une valeur absolue, que : |fp| ≤ \(\frac{1}{\sqrt{n}}\).

 

Exemple : la figure ci-dessous représente le résultat d’une simulation d’échantillonnage.

On prélève N échantillons de taille n dans une urne contenant une proportion p de boules rouges. On calcule ensuite le pourcentage d'échantillons se trouvant dant l'intervalle de fluctuation et on constate que ce pourcentage est presque tout le temps supérieur à 95%.


Simulation d'une série d'échantillonnages

 

 

 

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