Cours Math 2de

Ensembles de nombres et calculs

1) Ensembles de nombres

Définitions : \(\mathbb{N}\) : ensemble des entiers naturels. \(\mathbb{N}\) = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...}
\(\mathbb{Z}\) : ensemble des entiers relatifs. \(\mathbb{Z}\) = {0 ; – 1 ; 1 ; – 2 ; 2 ; – 3 ; 3 ; ...}
\(\mathbb{D}\) : ensemble des nombres décimaux. Ayant un nombre fini de chiffres après la virgule.
\(\mathbb{Q}\) : ensemble des nombres rationnels. Qui peuvent s’écrire forme fraction de deux entiers.
\(\mathbb{R}\) : ensemble des nombres réels. Tous les nombres.

On a : \(\mathbb{N}\) \(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{D}\) \(\mathbb{Q}\) \(\mathbb{R}\). (Le symbole signifie : « est inclus dans »)

 

Définition : \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) (lire « \(\mathbb{R}\) privé de \(\mathbb{Q}\) ») dénote l’ensemble des nombres irrationnels, tous ceux que l’on ne peut pas écrire comme fraction de deux entiers. (Il y en a beaucoup !)

 

Exemples : 3720 \(\mathbb{N}\) et donc il appartient aussi à tous les autres ensembles.
                   – 13,25
\(\mathbb{D}\) et donc appartient aussi à \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\).
                   \(\frac{1}{3}\)
\(\mathbb{Q}\) mais \(\frac{1}{3}\) \(\mathbb{D}\).
                   π est un nombre irrationnel : π
\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\). (Très dur à démontrer)

 

 

 

2) Avec des nombres entiers

Définition : un entier n est un multiple d’un entier p s’il existe un entier k tel que n = k×p.

Exemples : - les multiples de 2 sont les nombres pairs ;
                   - un nombre est un multiple de 5 si son écriture se termine par 0 ou 5 ;
                   - un nombre est un multiple de 3 si la somme de ses chiffres l’est.

 

Définition : un entier m est un diviseur d’un entier q si q est un multiple de m, c’est-à-dire s’il existe un entier k tel que q = k×m.

 

Définition : un entier naturel est premier s’il n’admet que deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même.

 

Exemples : - le début de la liste des nombre premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.
                   - 369 n’est pas premier d’après le critère de divisibilité par 3.

 

Propriété : - les entiers pairs peuvent s’écrire sous la forme n = 2k avec k \(\mathbb{Z}\) ;
                  - les entiers impairs peuvent s’écrire sous la forme n = 2k + 1 avec k
\(\mathbb{Z}\)
.

 

 

 

3) Quelques démonstrations

Proposition 1 : pour tout entier a, la somme de deux multiples de a est un multiple de a.

Preuve : soient na et ma deux multiples de a : na + ma = (n + m)a est aussi un multiple de a.

 

Proposition 2 : Le carré d’un nombre impair est impair.

Preuve : un nombre impair est de la forme 2m + 1 ; (2m + 1)² = 4m² + 4m + 1 = 2(2m² + 2m) + 1 qui est de la forme 2k + 1 (poser k = 2m² + 2m) et donc qui est impair.

 

 

 

4) Avec des nombres décimaux

Propriété : toute grandeur peut s’écrire sous la forme a×\(\small 10^n\) avec n \(\mathbb{Z}\) et a [1 ; 10[.

\(\small 10^n\) est l’ordre de grandeur du réel.

Le nombre de chiffres de a est appelé nombre de chiffres significatifs

 

Exemples : \(\frac{\pi}{167}\) ≈ 0,01881 ≈ 1,9×\(\small 10^{-2}\) (avec 2 chiffres significatif).

                   180000 = 1,80×\(\small 10^5\) (avec 3 chiffres significatifs).

 

Propriété : tout nombre réel peut être encadré par deux nombre décimaux à \(\small 10^{-n}\) près.

 

Exemple : \(\frac{\sqrt{2}}{163}\) = 0,008670,01881... donc \(\small 8,6\times10^{-3}<\frac{\sqrt{2}}{163}<8,7\times10^{-3}\).

 

Définition : les deux décimaux utilisés pour cet encadrement sont des valeurs approchées par défaut et par excès du réel de départ.

 

Règles de calcul sur les puissances :

\(\small a^0\) = 1.
\(\small a^1\) = a.
\(\small a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).
\(\small a^m\times a^n=a^{m+n}\).
\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
\(\small (a^m)^n=a^{m\times n}\).
\(\small (ab)^n=a^{n}b^{n}\).
\({\left ( \frac{a}{b} \right )}^n=\frac{a^n}{b^n}\)

 

 

 

5) Avec des nombres rationnels

Définition : tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible \(\frac{p}{q}\) , p et q n’ayant pas de diviseur commun à part 1.

On dit alors que p et q sont premiers entre eux.

 

Exemple : \(\require{cancel}\frac{85}{35}=\frac{\cancel{5}\times 15}{\cancel{5}\times 7}=\frac{15}{7}\) avec 15 et 7 premiers entre eux.

 

Règles de calcul sur les fractions :

\(\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}\).
\(\frac{k\times a}{k \times b}=\frac{a}{b}\).
\(\frac{a}{d}+\frac{b}{d}=\frac{a+b}{d}\).
\(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}\).
\(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}\).

 

 

 

6) Avec des nombres irrationnels

Proposition : \(\small\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel.

Preuve : raisonnement par l’absurde.

Supposons que soit rationnel, dans ce cas il existe deux entiers positifs p et q tels que \(\small\sqrt{2}\) = \(\frac{p}{q}\). On peut choisir p et q tels que la fraction soit irréductibles, c’est à dire p et q premiers entre eux.
On a donc, en élevant au carré : 2 = \(\frac{p^2}{q^2}\). Et : 2q² = p².

Donc 2 divise
p² et donc ainsi que p sont pairs et on peut écrire p = 2n.
En remplaçant dans la deuxième égalité on a : 2q² = (2n
, c’est dire 2q² = 4n².
Donc, en divisant par 2, on obtient :
q² = 2n². Ceci entraine que q est pair lui aussi.
Ce qui est une contradiction car on a choisi p et q premiers entre eux.

 

Remarque : de la même façon on démontre que si k n’est pas un carré parfait \(\small\sqrt{k}\) est irrationnel.

 

Règles de calcul avec des racines carrées :

\(\small\sqrt{0}\) = 0.
\(\small\sqrt{1}\) = 1.

\(\small\sqrt{a^2}\) = |a|.

\(\small\sqrt{a}^2\) = a. si a ≥ 0.
\(\small\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) si a et b ≥ 0.
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) si a ≥ 0 et b > 0.
• Il n'y a pas de règle pour \(\small\sqrt{a+b}\).

 

Remarque : contrairement aux idées reçues : \(\small\sqrt{a^2}\) n’est pas toujours égal à a.

Contre-exemple, prenons a = – 2 : \(\small\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}\) = 2 ≠ – 2.

 

Proposition 1 : Quels que soient les réels positifs a et b, on a : \(\small\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\)

Preuve : \(\small{\sqrt{a\times b}}^2=a\times b\) et \(\small(\sqrt{a}\times\sqrt{b})^2={\sqrt{a}}^2\times{\sqrt{b}}^2= a\times b\).

Donc \(\small{\sqrt{a\times b}}^2={\sqrt{a}}^2\times {\sqrt{b}}^2\) et en prenant la racine carrée : \(\small|\sqrt{a\times b}|=|\sqrt{a}\times\sqrt{b}|\) mais on peut retirer les valeurs absolues car ces nombres sont tous positifs.

 

Proposition 2 : Quels que soient les réels strictement positifs a et b, on a : \(\small\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\).

Preuve : \(\small{\sqrt{a+b}}^2\) = a + b et \(\small(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2={\sqrt{a}}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+{\sqrt{b}}^2= a+b+2\sqrt{a}\sqrt{b}\) > a + b car \(\small2\sqrt{a}\sqrt{b}\) > 0.

Donc \(\small{\sqrt{a+b}}^2<(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\) et en prenant la racine carrée puis en retirant les valeurs absolues (on a le droit car la fonction racine carrée est strictement croissante et les nombres tous positifs) : \(\small\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\).

 

 

 

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