Cours Math 2de

Fonctions affines et équations de droites

1) Equation réduite d’une droite

Rappel : une droite peut être caractérisée par son équation réduite de la forme :

x = c si c’est une droite verticale ;
y = ax + b si elle représente une fonction affine.
Un point M(x ; y) est sur la droite si ses coordonnées vérifient l’équation.

 

 

 

2) Fonctions affines

Définitions : une fonction f définie sur \(\mathbb{R}\) est affine si on a pour tout x : f (x) = ax + b.

Sa représentation graphique est une droite non verticale.
a est le coefficient directeur (ou pente).
b est l’ordonnée à l’origine.
Si a = 0 la fonction est constante (droite horizontale).
Si b = 0 la fonction est linéaire (droite passant pas l’origine).
b est l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des (Oy).
a = \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{accroissement des }y}{\textrm{accroisssement des }x}\).

 


Equation réduite d'une droite

 

Propriété : deux droites sont parallèles si elles ont même coefficient directeur.

 

 

 

3) Quelques méthodes

Méthode 1 : trouver l’équation d’une droite passant par deux points donnés.

 

Exemple : déterminer l’équation réduite de la droite (AB) avec A(2 ; 1) et B(6 ; 2).

Calcul du coefficient directeur : a = \(\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-1}{6-2}=\frac{1}{4}\).

Calcul de l'ordonnée à l'origine, on a : yA = axA + b.
1 = \(\frac{1}{4}\) × 2 + b.
1 = \(\frac{1}{2}\) + b.
\(\frac{1}{2}\) = b.

Finalement l’équation réduite de la droite (AB) est : y = \(\frac{1}{4}\)x+\(\frac{1}{2}\).

 

Méthode 2 : montrer l’alignement de trois points.

 

Exemple : A(2 ; 1), B(5 ; 2) et C(– 1 ; 0) sont-ils alignés ?

Les points sont alignés si (AB) et (AC) ont même coefficient directeur.

Pente de (AB) : \(\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-1}{5-2}=\frac{1}{3}\). Pente de (AC) : \(\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{0-1}{-1-2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}\).

Conclusion : A, B et C sont alignés.

 

Méthode 3 : déterminer l’intersection de deux droites.

 

Exemple : trouver le point d’intersection des droites d1 : y = x + 1 et d2 : y = – 2x + 2.

On résout le système : \(\small \left \{ \begin{matrix} y=x+1.\;\;\;\;\\ y=-2x+2.\end{matrix} \right.\)

On calcule x : x + 1 = – 2x + 2.
3x = 1.
x = \(\frac{1}{3}\).
On calcule y : y = \(\frac{1}{3}\) + 1 = \(\frac{4}{3}\).

Le point d’intersection de d1 et d2 est : I\(\left ( \frac{1}{3}\; ; \; \frac{4}{3} \right )\).

 

 

 

4) Variations et signe de ax + b

Propriétés : la solution de l’équation ax + b = 0 est \(-\frac{b}{a}\).

Si a > 0 alors f est croissante :
  

Si a < 0 alors f est décroissante :

 

On en déduit le tableau de signe de ax + b :

Si a > 0 :


                  

Si a < 0 :


 

 

5) Inéquations du premier degré

Méthode de résolution :

isoler x dans un membre sans oublier que si on multiplie ou divise un nombre négatif on change le sens,
donner les solutions sous forme d’intervalle.

 

Exemple : résoudre l’inéquation 2x – 7 < 5x + 3.

2x – 5x < 3 + 7.
–3x < 10.
x > \( -\frac{10}{3}\).                             S = ]\(-\frac{10}{3}\) ; + ∞[.

 

 

 

6) Signe d’un produit, d'un quotient

Principe : "empiler" les tableaux de signe des facteurs affines.

 

Exemple 1 : étude du signe de A(x) = (3x – 1)(5 – x).

3x – 1 = 0.
x = \(\frac{1}{3}\)

 

5 – x = 0.
x = 5.

 

Exemple 2 : étude du signe de B(x) = \(\frac{x-1}{x+1}\) sur \(\mathbb{R}\)\{– 1}.

x – 1 = 0.             
x = 1.

x + 1 = 0.                 
x = – 1.

 

 

 

7) Inéquations se ramenant au premier degré

Méthode de résolution :

transposer tout dans un membre,
factoriser (réduire au même dénominateur) sous la forme d’un produit (ou quotient) de fonctions affines,
dresser un tableau de signe,
lire les solutions dans le tableau (intervalle ou union d’intervalles).

 

Exemple 1 : résoudre l’inéquation (2x + 5)² ≥ (x – 1)².

(2x + 5)² – (x – 1)² ≥ 0.

[(2x + 5) – (x – 1)][(2x + 5) + (x – 1)] ≥ 0.

(x + 6)(3x + 4) ≥ 0.

x + 6 = 0.
x = – 6.

x + 4 = 0.
x = \( -\frac{4}{3}\).

S = ]– ∞ ; – 6]È[\( -\frac{4}{3}\) ; + ∞[.

 

Exemple 2 : résoudre l’inéquation \(\frac{1}{2x-1}\) ≥ 1. Il faut 2x – 1 ≠ 0 donc x \( \frac{1}{2}\).

\( \frac{1}{2x-1}\) – 1 ≥ 0.
\(\frac{1}{2x-1}\)\(\frac{2x-1}{2x-1}\) ≥ 0.
\( \frac{1-2x+1}{2x-1}\) ≥ 0.
\(\frac{-2x+2}{2x-1}\) ≥ 0.

 

– 2x + 2 = 0.
x = 1.

 

2x – 1 = 0.
 x = \(\frac{1}{2}\).

S = ]\(\frac{1}{2}\) ; 1].

 

 

 

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