Cours Math 2de

Vecteurs 1

1) Définitions

Définition : un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur (ou norme). Notation : \(\small \overrightarrow{v}\).

Un vecteur peut être représenté par deux points, on écrira alors \(\small \overrightarrow{AB}\).


Deux vecteurs

 

Remarque : le vecteur de longueur nulle est noté \(\small \overrightarrow{0}\).

 

Définition : \(\small -\overrightarrow{v}\) est le vecteur de même direction que \(\small \overrightarrow{v}\), même longueur et sens opposé. On a \(\small -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\).


Opposé d'un vecteur

 

Définition : un vecteur \(\small \overrightarrow{v}\) peut être associé à une translation. L'image d'un point M par cette translation est le point M' tel que \(\small \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\).


Image d'un Pac-Man par la translation de vecteur \(\small \overrightarrow{v}\)

 

 

 

2) Egalité de vecteurs

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même longueur.


Des vecteurs dont deux égaux

 

 
 

3) Somme de vecteurs et relation de Chasles

Définition : la somme (ou résultante) de vecteurs s’obtient en les mettant les uns après les autres.


Somme de deux vecteurs

 

Relation de Chasles : pour tous points A, B, C : \(\small \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)


Relation de Chasles

 

Remarque 1 : une autre façon de dessiner la somme de deux vecteurs est de construire la diagonale d’un parallélogramme.


Somme de deux vecteurs et parallélogramme

 

Remarque 2 : si on enchaine deux translations de vecteurs \(\small \overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\), on obtient une translation de vecteur \(\small \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\).

 

 

 

4) Produit d’un vecteur par un nombre et colinéarité

Définition : pour multiplier un vecteur \(\small \overrightarrow{v}\) par un nombre réel k, on sépare deux cas :

Si k > 0 :

\(\small k\overrightarrow{v}\) a la même direction que \(\small \overrightarrow{v}\), le même sens
et sa longueur est multipliée par k.

                  

Si k < 0 :

\(\small k\overrightarrow{v}\) a la même direction que \(\small \overrightarrow{v}\), le sens opposé
et sa longueur est multipliée par – k.


Multiplication d'un vecteur par un réel

 

Remarque : pour k = 0, on obtient : \(\small 0\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\).

 

Définition : deux vecteurs non nuls sont dits colinéaires s’ils ont la même direction.

 

Propriété : \(\small\overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\) colinéaires il existe un réel k tel que \(\small \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\).

 

 

 

5) Vecteurs en géométrie

Propriété 1 : caractérisation d'un parallélogramme.

ABCD parallélogramme \(\small \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).


Vecteurs et parallélogramme

 

Propriété 2 : loi du parallélogramme.

ABCD parallélogramme \(\small\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).


Loi du parallélogramme

 

Remarque : les parallélogrammes peuvent être aplatis.

 

Propriété 3 : caractérisation du milieu d'un segment.

I milieu de [AB] \(\small \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}\).


Milieu et vecteurs

 

Remarque : on a également \(\small \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}\), \(\small \overrightarrow{IB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), etc.

  

Propriété 4 : parallélisme.

(AB) et (CD) parallèles \(\small\overrightarrow{AB}\) et \(\small \overrightarrow{CD}\) colinéaires.


Vecteurs et parallélisme

 

Propriété 5 : alignement.

A, B et C alignés \(\small \overrightarrow{AB}\) et \(\small \overrightarrow{AC}\) colinéaires.


Vecteurs et alignement

  

 

 

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