Cours Math 2de

Fonctions usuelles

1) Fonctions affines

\( \mathbb{R}\) \( \mathbb{R}\)
 x ax + b. La courbe d'équation y = ax + b est une droite (a : coefficient directeur ; b : ordonnée à l’origine).

Si a > 0 : Si a < 0 :

Variations :

Variations :

Signe :

Signe :

Propriété : l’équation ax + b = 0 a une pour solution : S = \(\left \{ -\frac{b}{a}\right \}\).

 

 

 

2) Fonction carré

\( \mathbb{R}\) \( \mathbb{R}\)
 x x². La courbe d’équation y = x² et une parabole, elle est symétrique par rapport à l'axe (Oy) du repère (fonction paire).


Fonction carré

Variations :

 

 
Signe :

 

Propriété : Les antécédents de m sont les solutions de l’équation x² = m :

si m < 0 : pas de solution S = Ø,
si m = 0 : 0 est l’unique solution S = {0},
si m > 0 : 2 solutions S = \(\small \left \{ -\sqrt{m} \; ; \; \sqrt{m} \right \}\).

 

Exemple : résoudre l'équation (3x + 1)² = 5.

3x + 1 = – \(\small \sqrt{5}\) ou 3x + 1 = \(\small \sqrt{5}\).
3x = – 1 – \(\small \sqrt{5}\)
3x = –1 + \(\small \sqrt{5}\).
x = \(\small \frac{-1-\sqrt{5}}{3}\) x = \(\small \frac{-1+\sqrt{5}}{3}\). S = \(\small \left \{ \frac{-1-\sqrt{5}}{3}\; ; \; \frac{-1+\sqrt{5}}{3} \right \}\)
.

 

 

 

3) Fonction inverse

\( \mathbb{R}\)\{0} \( \mathbb{R}\)
     x    ↦  \(\frac{1}{x}\). La courbe d’équation y = \( \frac{1}{x}\) est une hyperbole , elle est symétrique par rapport à l'origine O du repère (fonction impaire).


Fonction inverse

Variations :

 

 
Signe :

 

Propriété : Les antécédents de m sont les solutions de l’équation \(\frac{1}{x}\) = m :

si m = 0 : pas de solution S = Ø,
si m ≠ 0 : \(\frac{1}{m}\) est l’unique solution S = \(\left \{ \frac{1}{m}\right \}\).

 

Exemple : résoudre l'équation \(\frac{1}{3x+1}\) = 5.

3x + 1 = \(\frac{1}{5}\).
3x = – 1 + \( \frac{1}{5}\)
= \(-\frac{4}{5}\).
x = \( \frac{-\frac{4}{5}}{3}\)
= \( -\frac{4}{15}\). S = \(\left \{ -\frac{4}{15}\right \}\)
.

 

 

 

4) Fonction racine carrée

[0 ; + ∞[ → \( \mathbb{R}\)
      x       \(\small\sqrt{x}\). La courbe d’équation y = \(\small\sqrt{x}\) est une demi-parabole,


Fonction racine carrée

Variations :

 

 

Signe :

 

Propriété : si m > 0 l’équation = m a une solution : S = {m²}.

 

 

 

5) Fonction cube

\( \mathbb{R}\)\( \mathbb{R}\)
 x x³.          (fonction impaire)


Fonction cube

Variations :

 

 
S
igne :

 

Propriété : l’équation = m a une unique solution que l’on notera \(\small m^{\frac{1}{3}}\) ou \(\small\sqrt[3]{m}\) : S = {\(\small\sqrt[3]{m}\)}.

 

 

 

6) Comparaison de x, x² et x³

Propriété : soit x un nombre réel strictement positif :
            si x
]1 ; + ∞[ alors x < x2 < x3 ;
            si x
]0 ; 1[ alors x > x2 > x3 ;
Preuve : voir exercice.


Comparaison de x, x² et x³

 

 

 

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