Cours Math 2de
Fonctions usuelles
1) Fonctions affines
\( \mathbb{R}\) → \( \mathbb{R}\)
x ↦ ax + b. La courbe d'équation y = ax + b est une droite (a : coefficient directeur ; b : ordonnée à l’origine).
Si a > 0 : | Si a < 0 : |
Variations : |
Variations : |
Signe : |
Signe : |
Propriété : l’équation ax + b = 0 a une pour solution : S = \(\left \{ -\frac{b}{a}\right \}\).
2) Fonction carré
\( \mathbb{R}\) → \( \mathbb{R}\)
x ↦ x². La courbe d’équation y = x² et une parabole, elle est symétrique par rapport à l'axe (Oy) du repère (fonction paire).
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Variations :
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Propriété : Les antécédents de m sont les solutions de l’équation x² = m :
si m < 0 : pas de solution S = Ø,
si m = 0 : 0 est l’unique solution S = {0},
si m > 0 : 2 solutions S = \(\small \left \{ -\sqrt{m} \; ; \; \sqrt{m} \right \}\).
Exemple : résoudre l'équation (3x + 1)² = 5.
3x + 1 = – \(\small \sqrt{5}\) ou 3x + 1 = \(\small \sqrt{5}\).
3x = – 1 – \(\small \sqrt{5}\) 3x = –1 + \(\small \sqrt{5}\).
x = \(\small \frac{-1-\sqrt{5}}{3}\) x = \(\small \frac{-1+\sqrt{5}}{3}\). S = \(\small \left \{ \frac{-1-\sqrt{5}}{3}\; ; \; \frac{-1+\sqrt{5}}{3} \right \}\).
3) Fonction inverse
\( \mathbb{R}\)\{0} → \( \mathbb{R}\)
x ↦ \(\frac{1}{x}\). La courbe d’équation y = \( \frac{1}{x}\) est une hyperbole , elle est symétrique par rapport à l'origine O du repère (fonction impaire).
Fonction inverse |
Variations :
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Propriété : Les antécédents de m sont les solutions de l’équation \(\frac{1}{x}\) = m :
si m = 0 : pas de solution S = Ø,
si m ≠ 0 : \(\frac{1}{m}\) est l’unique solution S = \(\left \{ \frac{1}{m}\right \}\).
Exemple : résoudre l'équation \(\frac{1}{3x+1}\) = 5.
3x + 1 = \(\frac{1}{5}\).
3x = – 1 + \( \frac{1}{5}\) = \(-\frac{4}{5}\).
x = \( \frac{-\frac{4}{5}}{3}\) = \( -\frac{4}{15}\). S = \(\left \{ -\frac{4}{15}\right \}\).
4) Fonction racine carrée
[0 ; + ∞[ → \( \mathbb{R}\)
x ↦ \(\small\sqrt{x}\). La courbe d’équation y = \(\small\sqrt{x}\) est une demi-parabole,
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Variations :
Signe : |
Propriété : si m > 0 l’équation = m a une solution : S = {m²}.
5) Fonction cube
\( \mathbb{R}\) → \( \mathbb{R}\)
x ↦ x³. (fonction impaire)
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Variations : |
Propriété : l’équation = m a une unique solution que l’on notera \(\small m^{\frac{1}{3}}\) ou \(\small\sqrt[3]{m}\) : S = {\(\small\sqrt[3]{m}\)}.
6) Comparaison de x, x² et x³
Propriété : soit x un nombre réel strictement positif :
si x ∈ ]1 ; + ∞[ alors x < x2 < x3 ;
si x ∈ ]0 ; 1[ alors x > x2 > x3 ;
Preuve : voir exercice.
Comparaison de x, x² et x³