Cours Math 2de

Vecteurs 2

1) Coordonnées de vecteurs

Définition : dans un repère d’origine O, les coordonnées d’un vecteur \(\small \overrightarrow{v}\) sont celles du point M(x ; y) tel que \(\small \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{v}\).

On note : \(\small \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\).


Les coordonnées de sont les mêmes que celles de M vérifiant \(\small \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{v}\)

 

Remarque : on appelle \(\small \overrightarrow{i}\) et \(\small \overrightarrow{j}\) les vecteurs \(\small \overrightarrow{i}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\small \overrightarrow{j}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\). Alors on a \(\small \overrightarrow{v}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\).

 

Propriété 1 : calcul des coordonnées d'un vecteur défini par deux points. Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points dans un repère du plan.

Alors, les coordonnées du vecteur \(\small \overrightarrow{AB}\) sont : \(\small \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \end{pmatrix}\).

 

Propriété 2 : les calculs vectoriels se traduisent par des calculs équivalents sur chaque coordonnée.

Si les coordonnées de \(\small \overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\) sont \(\small \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\) et \(\small \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\) et si k est un réel.
Alors : \(\small k\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} kx\\ ky \end{pmatrix}\) et \(\small \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x+x'\\ y+y' \end{pmatrix}\).

 

Exemple : soient dans un repère : A(1 ; 2), B(5 ; – 4), C(– 1 ; 3). Calculer les coordonnées de \(\small 2\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

\(\small \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5-1\\ -4-2 \end{pmatrix}\) donc : \(\small \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4\\ -6 \end{pmatrix}\). \(\small \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1-1\\ 3-2 \end{pmatrix}\) donc : \(\small \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}\).
\(\small 2\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\times4-\frac{1}{2}\times(-2)\\ 2\times(-6)-\frac{1}{2}\times1 \end{pmatrix}\) donc : \(\small 2\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 9\\ -12,5\end{pmatrix}\).

 

 

 

2) Déterminant de deux vecteurs

Définition : soient deux vecteurs \(\small \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\) et \(\small \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\).
Le déterminant de \(\small \overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\) est noté det(\(\small \overrightarrow{u}\) ; \(\small \overrightarrow{v}\)), il est égal à : det(\(\small \overrightarrow{u}\) ; \(\small \overrightarrow{v}\)) = xy’yx’.

 

Remarque : le déterminant de deux vecteurs dépend du repère et de l’ordre des vecteurs. (En fait on peut facilement montrer que det(\(\small \overrightarrow{v}\) ; \(\small \overrightarrow{u}\)) = – det(\(\small \overrightarrow{u}\) ; \(\small \overrightarrow{v}\))).

 

Théorème : soient \(\small \overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\) deux vecteurs non nuls.
\(\small \overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\) colinéaires ⇔ det(\(\small \overrightarrow{u}\) ; \(\small \overrightarrow{v}\)) = 0.
Preuve : \(\small \overrightarrow{u}\) et \(\small \overrightarrow{v}\) colinéaires ⇔ il existe k tel que \(\small \overrightarrow{u}=k\small \overrightarrow{v}\).
Mais \(\small \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\) et \(\small k\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} kx'\\ ky' \end{pmatrix}\).
On a donc x = kx' et y = ky'. Alors det(\(\small \overrightarrow{u}\) ; \(\small \overrightarrow{v}\)) = xy'yx' = kx'y'ky'x' = 0.
Réciproque : exercice (plus dur).

 

Exemple : soient A(1 ; 2), B(3 ; – 4), C(0 ; 5). A, B et C sont-ils alignés ?

\(\small \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3-1\\ -4-2 \end{pmatrix}\) donc : \(\small \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2\\ -6 \end{pmatrix}\).

\(\small \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0-1\\ 5-2 \end{pmatrix}\) donc : \(\small \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1\\ 3 \end{pmatrix}\).

det(\(\small \overrightarrow{AB}\) ; \(\small \overrightarrow{AC}\)) = 2×3 – (– 6)×(– 1) = 6 – 6 = 0.

Donc \(\small \overrightarrow{AB}\) et \(\small \overrightarrow{AC}\) sont colinéaires et A, B, C sont alignés.

 

 

 

3) Equation cartésienne et vecteur directeur d’une droite

Définition : un vecteur directeur d’une droite D est un vecteur de même direction que D.


Une droite et trois vecteurs directeurs

 

Remarque : une droite a une infinité de vecteurs directeurs et ils sont tous colinéaires.

 

Définition : une équation cartésienne est une équation à deux variables x et y de la forme : ax + by + c = 0. Avec a et b non nuls en même temps.

 

Théorème : Soient D une droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0.
Alors le vecteur \(\small \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b\\ a \end{pmatrix}\)
est un vecteur directeur de la droite D.

 


Equation cartésienne et vecteur directeur

 

Méthode 1 : réduire une équation de droite.

Si b ≠ 0 :                                                Si b = 0 :

ax + by + c = 0.                                      ax + c = 0.
by = – axc.                                          ax = – c.
y = \(-\frac{b}{a}x-\frac{c}{b}\). (droite non verticale)     x = – \(\frac{c}{a}\). (droite verticale)

 

Méthode 2 : trouver une équation cartésienne en utilisant un déterminant.

Soient A(1 ; 2), B(3 ; – 4). Déterminer une équation de la droite (AB).

M(x ; y) (AB) \(\small \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-1\\ y-2 \end{pmatrix}\) et \(\small \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2\\ -6 \end{pmatrix}\) colinéaires.
On a donc : det(\(\small \overrightarrow{AM}\) ; \(\small \overrightarrow{AB}\)) = 0.
(x – 1)×(– 6) – (y – 2)×2 = 0.
– 6x + 6 – 2y + 4 = 0.
– 6x – 2y + 10 = 0.
3x + y – 5 = 0.

 

 

 

4) Systèmes et intersection de droites

Définition : un système linéaire de deux équations à deux inconnues se présente sous la forme : \(\small\left\{\begin{matrix} ax+by+c=0\;\;\;\\ a'x+b'y+c'=0 \end{matrix}\right.\)

Résoudre un tel système consiste à trouver les couples (x ; y) qui vérifient simultanément les deux équations.

 

Interprétation graphique : à chaque équation on peut associer une droite dans un repère du plan. Il y a donc trois possibilités :

les droites sont sécantes, alors il existe un unique couple (x ; y) solution du système correspondant au point d'intersection ;
les droites sont parallèles, alors il n'y a pas de solution ((a ; b) et (a' ; b') proportionnels) ;
les droites sont confondues, alors une infinité de solutions chacune correspondant à un point de la droite (les équations sont proportionnelles).

 

Méthodes de résolution : pour résoudre le système on utilise le principe suivant : on élimine une des deux inconnues par une combinaison ou substitution, on est alors ramené à résoudre successivement deux équations du premier degré.

On considère le système : \(\small\left\{\begin{matrix} x+y+4=0\;(E1)\;\;\\ 2x-y+1=0\;(E2) \end{matrix}\right.\)

Méthode par substitution : on exprime y en fonction de x dans une des deux équations et on remplace dans l'autre.
(E1) : y = – x – 4.
On remplace dans (E2) : 2x – (– x – 4) + 1 = 0.
                                        3x + 5 = 0.
                                         x = – \(\frac{5}{3}\).
On remplace dans (E1) : y = \(\frac{5}{3}\) – 4 = \(\frac{7}{3}\).
Solution : x\(\frac{5}{3}\) et y = \(\frac{7}{3}\).

 

Méthode par combinaisons : en effectue des combinaisons des deux équations afin d'éliminer chaque des inconnue.
            (E1) : x + y + 4 = 0.
            (E2) : 2xy + 1 = 0.
Par addition : 3x + 5 = 0. Donc : x = – \(\frac{5}{3}\).
              
(E1)×2 : 2x + 2y + 8 = 0.
                   (E2) : 2xy + 1 = 0.
Par soustraction : 3y + 7 = 0. Donc : y = – \(\frac{7}{3}\).
Solution : x\(\frac{5}{3}\) et y = \(\frac{7}{3}\).

 

Remarque : il y a d'autres méthodes (voir exercices).

 

 

 

5) Repère lié à une figure géométrique

Définition : un repère peut être défini par un point d’origine O et de vecteurs non colinéaire \(\small \overrightarrow{i}\) et \(\small \overrightarrow{j}\).

Notation : (O ; \(\small \overrightarrow{i}\), \(\small \overrightarrow{j}\)).

 

Remarque : le repère (A ; \(\small \overrightarrow{AB}\), \(\small \overrightarrow{AC}\)) lié au triangle ABC n’est pas orthonormé mais les formules restent valables sauf pour la formule de distance vue en début d’année.


Coordonnées d’un point dans le repère (A ; \(\small \overrightarrow{AB}\), \(\small \overrightarrow{AC}\))
lié au triangle ABC

 

 

 

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