Cours Math 2de

Géométrie 2

1) Droites remarquables du triangle

Définition 1 : la médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants de ses extrémités. Elle coupe le segment perpendiculairement en son milieu.

 

Propriété 1 : les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes au point O centre du cercle circonscrit au triangle.

Preuve : O est sur la médiatrice de [AB] donc OA = OB.

Il est également sur la médiatrice de [BC] donc OB = OC.
OA = OB = OC donc A, B et C sont sur un même cercle de centre O et de rayon OA.


Médiatrices et centre du cercle circonscrit

 

Définition 2 : la bissectrice d’un angle le divise en deux angles de mêmes mesures.

 

Propriété 2 : les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point I centre du cercle inscrit dans le triangle.


Bissectrices et centre du cercle inscrit

 

Définition 3 : une médiane d’un triangle rejoint un sommet au milieu du côté opposé. Elle coupe le triangle en deux triangles de même aire.

 

Propriété 3 : les trois médianes d’un triangle sont concourantes au point G centre de gravité du triangle.


Médianes et centre de gravité

 

Proposition : soit ABC un triangle et G un point.

Si \(\small\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) alors G est le centre de gravité de ABC.

Preuve : appelons A’, B’ et C’ les milieux respectifs de [BC], [AC] et [BC].

\(\small\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
\(\small\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{0}\). (D’après la relation de Chasles)
\(\small3\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{0}\).
\(\small3\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{0}\). (Car A’ milieu de [BC] ⇒ \(\small\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{0}\))
\(\small\overrightarrow{A'A}=3\overrightarrow{A'G}\) ou bien \(\small\overrightarrow{A'G}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A'A}\)
Donc \(\small\overrightarrow{A'A}\) et \(\small\overrightarrow{A'G}\) sont colinéaires et G ∈ (AA’) médiane issue de A du triangle ABC.
On peut faire le même calcul avec et ou avec et donc G est bien le point de concours des trois médianes, c’est-à-dire le centre de gravité de ABC.

 

Remarques : - en fait on a l’équivalence : \(\small\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) G est le centre de gravité de ABC (réciproque en exercice) ;
                     - on a en plus démontré que G se situe au tiers de la médiane en partant du milieu d’un côté ;
                     - le centre de gravité est le point d’équilibre d’une plaque solide triangulaire. (Car les médianes séparent le triangle en triangles de même aire)

 

Définition 4 : une hauteur d’un triangle rejoint un sommet perpendiculairement à son côté opposé. Elle permet de calculer l’aire du triangle (\(\mathcal{A}=\frac{\mathcal{B}\times h}{2}\)).

 

Propriété 4 : les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes au point H orthocentre du triangle.


Hauteurs et orthocentre

 


Droites remarquables du triangle

 

 

 

2) Théorème(s) de Thales

Théorème : (Thalès) soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC). (Voir figure).

Alors on a : \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{AB}\).


Configurations de Thalès

 

Remarque : on a également : \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\), \(\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}\), etc.

 

Cas particulier : (théorème des milieux) la droite reliant les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.

 

Théorème : (réciproque du théorème de Thalès) dans un triangle ABC, soient deux points D et E appartenant respectivement aux segments [AB] et [AC].

Si \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\) alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

 

Théorème : (théorème de Thalès vectoriel) soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC). (Voir figure)

Alors : \(\small \overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{AD}\)\(\small \overrightarrow{AC}=k \overrightarrow{AE}\) (même k).

Réciproquement : s’il existe k tel que \(\small \overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{AD}\) et \(\small \overrightarrow{AC}=k \overrightarrow{AE}\) (même k) alors \(\small \overrightarrow{BC}=k \overrightarrow{DE}\) (toujours même k) et donc (DE)//(BC).


Théorème de Thalès vectoriel et sa réciproque.

 

Remarque 1 : la réciproque est une conséquence directe de la relation de Chasles. (Démonstration en exercice)

 

Remarque 2 : il existe d’autres versions du théorème de Thales (généralisé, dans l’espace, projectif, etc.)

 

 

 

3) Homothéties

Définition : soient O un point et k un réel non nul. L’image d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport k est le point M’ vérifiant : \(\small \overrightarrow{OM'}=k \overrightarrow{OM}\).


Définition vectorielle d’une homothétie

 

Remarque : si k = – 1 on obtient une symétrie centrale.

 

Propriété : l’image d’un vecteur \(\small \overrightarrow{v}\). par une homothétie de rapport k est égale à k\(\small \overrightarrow{v}\).

Preuve : Appelons \(\small \overrightarrow{v '}\) l’image de \(\small \overrightarrow{v}\) .

On peut trouver deux points M et P tels que \(\small \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MP}\).
Alors \(\small \overrightarrow{v '}=\overrightarrow{M'P'}\)M’ et P’ sont les images de M et P par l’homothétie dont nous appellerons O le centre.
On a : \(\small\overrightarrow{v '}= \overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\) donc \(\small \overrightarrow{M'O}=k\overrightarrow{MO}\) ainsi que \(\small \overrightarrow{OP'}=k\overrightarrow{OP}\).
Donc : \(\small\overrightarrow{v '}= \overrightarrow{M'P'}=\overrightarrow{M'O}+\overrightarrow{OP'}=k\overrightarrow{MO}+k\overrightarrow{OP}=k(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OP})=k\overrightarrow{MP}=k\overrightarrow{v}\).


Image d’un vecteur par une homothétie (on reconnaît une configuration de Thalès)

 

 

 

4) Trigonométrie dans un triangle rectangle

Définitions : soit ABC un triangle rectangle et α un angle autre que l’angle droit.


Cosinus, sinus et tangente d’un angle

 

Remarque : en général on oublie les parenthèses s’il n’y a pas d’ambiguïté : cosα, sinα, tanα par exemple ne sont pas des écritures ambiguës, mais cosα² l’est car on ne sait pas s’il s’agit de (cosα)² ou de cos(α²).

 

Proposition : pour tout angle α, cos²α + sin²α = 1. (Notation : cos²α = (cosα)² et sin²α = (sinα)²)

Preuve : cosα = \(\frac{AB}{AC}\) donc cos²α = \(\frac{AB^2}{AC^2}\). De même : sin²α = \(\frac{BC^2}{AC^2}\).

Donc : cos²α + sin²α = \(\frac{AB^2}{AC^2}+\frac{BC^2}{AC^2}=\frac{AB^2+BC^2}{AC^2}=\frac{AC^2}{AC^2}\) = 1 (en effet, d’après le Théorème de Pythagore : AB² + BC² = AC²).
CQFD.

 

 

 

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