Cours Math 2de

Repères et coordonnées

1) Coordonnées d’un point

Définition : Trois points non alignés (O, I, J) définissent un repère du plan.

O est l'origine du repère.

(OI) est l'axe des abscisses, (OJ) l'axe des ordonnées.

On note M(xM ; yM) le point d’abscisse xM et d’ordonnée yM obtenus par projection sur les deux axes.


Lecture des coordonnées d'un point par projection sur les axes

 

 

 

2) Coordonnées du milieu d’un segment

Propriété : soient dans un repère deux points : A(xA ; yA) et B(xB ; yB).

Alors on a : I milieu de [AB] xI =\(\frac{x_A+x_B}{2}\) et yI = \(\frac{y_A+y_B}{2}\).


Les coordonnées du milieu d'un segment sont les moyennes de celles des extrémités

 

Exemple : soient dans un repère A(– 1 ; – 1) et B(3 ; 6). Calculer les coordonnées du milieu I de [AB] et du symétrique B’ de B par rapport à A.

I est le milieu de [AB] donc on a :
xI = \(\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1\).


yI = \(\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-1+6}{2}=\frac{5}{2}=2,5\).


On a donc I(1 ; 2,5).


A
est le mileu de [BB'] donc on a :

xA = \(\frac{x_B+x_{B'}}{2}\).

yA = \(\frac{y_B+y_{B'}}{2}\).

1 = \(\frac{3+x_{B'}}{2}\).

– 1 = \(\frac{6+y_{B'}}{2}\).

– 2 = 3 + xB'.

– 2 = 6 + yB'.

– 5 = xB'.

– 8 = yB'.

On a donc B'(– 5 ; – 8).

 

 

 

3) Calculs de longueurs dans un repère orthonormé

Les formules suivantes ne sont valables que si le repère est orthonormé.

Propriété : soient dans un repère orthonormé deux points : A(xA ; yA) et B(xB ; yB).

Alors on a : AB² = AC² + BC² = (xBxA)² + (yByA)² et donc : AB = \(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).

 

Preuve : dans le triangle ABC rectangle en C dessiné ci-dessous on peut appliquer le théorème de Pythagore.

AB² =AC² + BC² = |xBxA|² + |yByA|² =(xBxA)² + (yByA)².

En prenant la racine carrée : AB = \(\small\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).

La distance entre deux points peut se calculer grâce au théorème de Pythagore

 

Exemple : soient dans un repère orthonormé A(– 1 ; – 1), B(– 3 ; 3) et C(3 ; 6). Calculer AB, AC et BC. Quelle est la particularité du triangle ABC ?

AB = \(\small\sqrt{(-3-(-1))^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\).

AC = \(\small\sqrt{(3-(-1))^2+(6-(-1))^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\).

BC = \(\small\sqrt{(3-(-3))^2+(6-3)^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}\).

AC² = 65 = 20 + 45 = AB² + BC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

 

 

 

4) Equation réduite d’une droite

Définition : Une droite peut être caractérisée par son équation réduite de la forme :

x = c si c’est une droite verticale ;
y = ax + b si elle représente une fonction affine.
Un point M(x ; y) est sur la droite si ses coordonnées vérifient l’équation.


Droite d’équation x = c


Droite d’équation y = ax + b

 

Exemple : soit D la droite d’équation y = 2,5x – 3. Les points A(– 2 ; – 8) et B(10 ; 20) sont-ils sur D ?

2,5×xA – 3 = 2,5×(– 2) – 3 = – 5 – 3 = – 8 = yA donc A D.

2,5×xB – 3 = 2,5×10 – 3 = 25 – 3 = 22 ≠ yB donc B D.

 

Méthode : pour tracer une droite connaissant son équation réduite, il suffit de calculer les coordonnées de deux points en donnant deux valeurs à x.

Il suffit de deux points pour tracer une droite

 

Remarques : - les droites verticales (d’équation x = c) ou horizontales (d’équation y = b) se tracent sans calcul ;

                     - l'axe des abscisse (Ox) a pour équation y = 0. L'axe des ordonnées (Oy) a pour équation x = 0.

 

 

 

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