Cours Math 2de

Pourcentages et statistiques

1) Pourcentages instantanés

Définition : prendre t% d’une quantité revient à la multiplier par \(\frac{t}{100}\).

 

Exemple : dans un lycée de 1700 élèves, 58% sont des filles. Il y a donc : 1700×\(\frac{58}{100}\) = 986 filles.

 

Définition : la proportion d’une quantité q par rapport à une quantité Q est égale au quotient \(\frac{q}{Q}\). que l’on peut exprimer sous forme de pourcentage en multipliant par 100.

 

Exemple : dans une entreprise contenant 257 employés, 53 sont des cadres. Il y a donc une proportion de cadres égale à \(\frac{53}{257}\) ≈ 0,206. Soit 20,6%.

 

 

 

2) Pourcentages d’évolution

Définition : pour t [– 100 ; + ∞[, une évolution de t% d’une quantité est Q est égale à Q + Q×\(\frac{t}{100}\).

 

Remarque : si t est négatif cela correspond à une baisse.

 

Propriété : une évolution de t% correspond à une multiplication par 1 + \(\frac{t}{100}\).

C = 1 + \(\frac{t}{100}\). est appelé coefficient multiplicateur.

Preuve : Q augmenté de t% vaut : Q + Q×\(\frac{t}{100}\) = Q×1 + Q×\(\frac{t}{100}\) = Q×\(\left ( 1+ \frac{t}{100} \right )\).

 

Remarque : si le coefficient multiplicateur C est plus petit que 1, on a une baisse (t négatif). Si le coefficient multiplicateur est plus grand que 1, on a une hausse (t positif).

 

Exemples : - une baisse de 13% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 0,87.
                   - une hausse de 350% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 4,5.
                   - un coefficient multiplicateur égal à 1,53 correspond à une hausse de 53%.

 

Définition : le taux d’évolution (ou variation relative) entre une valeur initiale et une valeur finale peut se calculer avec la formule : \(\frac{V_f - V_i}{V_i}\) . On peut l’exprimer en pourcentage en multipliant par 100.

 

Remarque : la quantité VfVi est appelée variation absolue alors que \(\frac{V_f - V_i}{V_i}\) est la variation relative.

 

Exemple : le prix d’une action en bourse est passé de 12€ à 14,7€.

Son taux d’évolution est : \(\frac{14,7- 12}{12}\) = 0,225. Soit une augmentation de 22,5%.

  

  

 

3) Évolutions successives, évolution réciproque

Propriété : calculer le résultat d’évolutions successives revient à multiplier les coefficients multiplicateurs.

 

Exemple : un prix subit une baisse de 5% puis de 10%. Calculer son taux d’évolution global.

Le prix à été multiplié par 0,95×0,90 = 0,855.
Le taux d’évolution global vérifie donc : .
Donc t = – 0,145. Ce qui correspond à une baisse de 14,5%.

 

Remarque : les pourcentages d’évolution ne s’additionnent pas.

  

Propriété : calculer le résultat d’une évolution réciproque revient à diviser par le coefficient multiplicateur.

  

Exemple : la population d’un pays augmente de 4% chaque année et on suppose ce taux constant. En 2018 le pays contient 13566000 habitants. Calculer le nombre d’habitants en 2019 et en 2017.

En 2019 : 13566000×1,04 = 14108640 habitants.
En 2017 : \(\frac{13566000}{1,04}\) = 13044231 habitants.

 

Remarque : une hausse de t% n’est pas compensée par une baisse du même taux.

  

  

 

4) Vocabulaire statistique

Population : ensemble étudié.
Individu : élément de la population.
Caractère : ce qui est étudié.
Valeurs prises par le caractère : x1, x2, …, xp.
Effectif d’une valeur : nombre d’individus correspondants ; n1, n2, …, np.
Effectif total : N = n1 + n2 +… + np.
Fréquence d’une valeur : fi = \(\frac{n_i}{N}\). Il s’agit d’un nombre entre 0 et 1, on peut l’exprimer en pourcentage.
Caractère quantitatif si c’est un nombre, qualitatif sinon.
Caractère discret s’il prend des valeurs isolées.
Caractère continu s’il peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle, les résultats sont alors regroupés en classes.

  

  

 

5) Moyenne et écart type

Définition : la moyenne pondérée des valeurs xi pondérée par les effectifs ni est égale à \(\overline{x}=\frac{n_1 \times x_1+n_2 \times x_2+...+n_p \times x_p}{n_1+n_2+...+n_p}\).

 

Remarque : il faut prendre comme valeurs les centres des classes si la série est continue et regroupée en classes.

 

Exemple : on étudie la taille en cm d’un groupe de personnes.

Taille en cm

[150 ; 160[

[160 ; 170[

[170 ; 180[

[180 ; 200[

Effectifs

8

14

18

10

\(\bar{x}= \frac{8\times 155+14 \times 165+18 \times 175+10\times 190}{8+14+18+10} = \frac{8600}{50}\) = 172 cm.

 

Remarque : la moyenne est un paramètre de position, elle permet de positionner des séries statistiques les unes par rapport aux autres.

 

Propriété : linéarité de la moyenne.

- si on ajoute le même nombre à toutes les valeurs d'une série, la nouvelle moyenne s’obtient en ajoutant ce nombre à l'ancienne moyenne ;
- si on multiplie par le même nombre à toutes les valeurs d'une série, la nouvelle moyenne s’obtient en multipliant ce nombre et l'ancienne moyenne.

 

Définitions : - la variance d’une série statistique est égale à : V = \(\frac{n_1\times{(\overline{x}-x_1)^2}+n_2\times{(\overline{x}-x_2)^2+ ... +n_p\times{(\overline{x}-x_p)^2}}}{n_1 + n_2 + ... + n_p }\) ;
                     - l’écart type est la racine carrée de la variance : σ = \(\small\sqrt{V}\).

 

Propriétés : - l’écart type est la moyenne « quadratique » des écarts à la moyenne pondérée par les coefficients ni ;
                   - la variance et l’écart type sont des paramètres de dispersion : plus ils sont petits et plus la série statistique est homogène.

 

Remarque : les calculs de variances et d'écart type seront effectués par la calculatrice en mode STAT.

 

 

 

6) Médiane et quartiles

Il faut tout d’abord ranger les individus par ordre croissant des valeurs du caractère.

Calcul de la médiane :

Si N est pair : N = 2k et Me = \(\frac{valeur\;de\;rang\;k\;+\;valeur\;de\;rang\;(k+1)}{2}\) (c'est la moyenne des deux valeurs centrales).
Si N est impair : N = 2k + 1 et Me = valeur de rang k (c'est la valeur centrale).

 

Calcul des quartiles

On calcule \(\frac{N}{4}\) en arrondissant à l’entier supérieur : on obtient le rang du premier quartile Q1.
On calcule \(\frac{3N}{4}\) en arrondissant à l’entier supérieur : on obtient le rang du troisième quartile Q3.

 

Remarque : pour trouver la valeur d'in individu connaissant son rang, on peut utiliser le tableau des effectifs cumulés croissants (ou des fréquences cumulées).

 

Exemple : avec 90 individus.

Valeurs

125

126

128

130

131

132

134

135

Effectifs

5

10

15

10

7

13

12

18

Effectifs cumulés croissants

5

15

30

40

47

60

72

90

\(\frac{90}{2}\) = 45 donc la médiane est la moyenne entre la \(\small 45^{ème}\) et la  \(\small 46^{ème}\) valeur : Me = \(\frac{131+131}{2}=131\).

\(\frac{90}{4}\) =2 2,5 donc Q1 est la  \(\small 23^{ème}\) valeur : Q1 = 128.

\(\frac{3\times90}{4}\) = 67,5 donc Q3 est la  \(\small 68^{ème}\) valeur : Q3 = 134.

 

Remarque : la médiane est un paramètre de position.

 

Propriétés :

Au moins 50% de la population a un caractère ≤ Me et au moins 50% de la population a un caractère ≥ Me.
Au moins 25% de la population a un caractère ≤ Q1 et au moins 75% de la population a un caractère ≥ Q1.
Au moins 75% de la population a un caractère ≤ Q3 et au moins 25% de la population a un caractère ≥ Q3.

 

Définitions : - étendue : Valeur max – Valeur min ;
                     - écart interquartile : Q3Q1 ;
                     - intervalle interquartile : [Q1 ; Q3] cet intervalle contient au moins 50% de la population.

 

Remarque : ce sont des paramètres de dispersion.

 

 
 

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