Cours Math 2de

Fonctions, généralités

1) Définitions

D est un ensemble de nombres (par exemple : un intervalle).

x est un nombre dans l’ensemble D.

Une fonction f  fait correspondre à chaque valeur de x son image f (x).

On note :

\(f: \small \begin{matrix} D \rightarrow \mathbb{R} \\ x \mapsto f(x) \end{matrix}\)

 

Vocabulaire :  D est le domaine de définition de la fonction.

x est la variable et  f (x) est son image.

 

On lit l’ensemble de définition en projetant la courbe sur l’axe des abscisses.


D = [x1 ; x2] est le domaine de définition de la fonction

 

 

2) Image d’un nombre

Définition : l'image de x est f (x).

 

Calcul : il suffit de remplacer la variable par la valeur du nombre.

 

Exemple : u(t) = t²t – 1. u( 4) = (– 4)² – (– 4) – 1 = 16 + 4 – 1 = 19. L’image de – 4 par u est 19.

 

Lecture graphique : la courbe représentative d’une fonction f définie sur un ensemble D est l’ensemble des points de coordonnées (x ; y) vérifiant y = f (x), x décrivant D.


M(x ; y) est sur la courbe représentative de f si et seulement si x D et y = f(x)

 

Construction de la courbe : on utilise un tableau de valeurs qu’on peut remplir à l’aide de la calculatrice.

 

Exemple : pour la fonction définie sur [– 1 ; 4] par f (x) = x² – 2x – 1.

Tableau de valeurs avec un pas de 0,5 :

x

– 1

– 0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

f (x)

2

0,25

– 1

– 1,75

– 2

– 1,75

– 1

0,25

2

4,25

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Placement des points et tracé de la courbe

 

Remarque : dans le cas d’une fonction affine deux valeurs suffisent puisqu’on obtient une droite.

 

 

 

3) Antécédents d'un nombre

Définition : soit m un nombre réel, les antécédents de m par f sont les solutions de l’équation f (x) = m.

 

Exemple de calcul : la fonction carré définie sur \(\mathbb{R}\) par f (x) = x². Cherchons les antécédents de 4, de 0, de – 5 :

x² = 4 donc x = – 2 ou x = 2 donc 4 a deux antécédents par f qui sont – 2 et 2.
x² = 0 donc x = 0 donc 0 a un seul antécédent par f qui est 0.
x² = – 5 impossible donc – 5 n’a pas d’antécédent par f (un carré est toujours positif).

 

Lecture graphique des antécédents : les antécédents de m sont les abscisses des point d'ordonnée m de la courbe.


Les antécédents d'un réel m par f sont les solutions de l’équation f(x) = m

 

Résolution graphique de f (x) = g(x) : les solutions de l'équation f (x) = g(x) sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.


Résolution graphique de f(x) = g(x)

 

 

 

4) Résolution graphique d’une inéquation
Résoudre graphiquement l'inéquation f (x) ≥ m revient à trouver les abscisses des points de la courbe d'ordonnée plus grande que m.


Les solutions de l'inéquation f(x) ≥ m apparaissent en bleu clair sur l'axe des abscisses

 

On résout de la même façon les inéquations du type f (x) < m, f (x) ≤ g(x), etc.

 

Tableau de signe d’une fonction :

On résume dans un tableau le signe de f (x) (deuxième ligne) en fonction de x (première ligne).

Exemples :


Tableau de signe

  
 
 

5) Variations d’une fonction

Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I.


f est croissante sur I si pour tous a et b dans I :
ab f (a) ≤ f (b).


f est décroissante sur I si pour tous a et b dans I :
ab f (a) ≥ f (b).

 

Tableau de variation d’une fonction :

On résume dans un tableau les variations de f (x) (deuxième ligne) en fonction de x (première ligne).

Exemples :


Tableau de variation

 

 

 

6) Extremums d’une fonction

Définitions : le minimum de f est la plus petite valeur atteinte par f (x). Le maximum de f est la plus grande valeur atteinte par f (x).

On peut lire les extremums sur le graphique ou dans le tableau de variation.

 

Exemple : soit la fonction f dont les variations sont données par :

Le maximum de f est 3 atteint pour x = – 2 ou 5.
Le minimum de f est – 2 atteint pour x = 2.

 

 

 

7) Parité d’une fonction

Définition : un intervalle (ou une union d'intervalles) D est centré en 0 si pour tout x : xD ⇒ – x ∈ D.

 

Définitions : une fonction définie sur un intervalle (ou une union d'intervalles) D est paire si pour tout xD : f (– x) = f (x).

Une fonction définie sur un intervalle (ou une union d'intervalles) D est impaire si pour tout xD : f (– x) = – f (x).

 

Exemples : - la fonction carrée définie sur \(\mathbb{R}\) par f (x) = x² est paire car (– x)² = x².

                   - la fonction inverse définie sur \(\mathbb{R}\)\{0} par f (x) = \(\frac{1}{x}\) est impaire car \(\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}\).

 

Propriétés : la courbe représentative d'une fonction paire dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy) ;

                   la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine O du repère.


Fonction paire
                     
Fonction impaire

  

 

 

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